Question

【题目】如图，正方形的边长为2，连接，点是线段延长线上的一个动点，，点是与线段延长线的交点，当平分时，______（填“>”“<”或“=”）：当不平分时，__________.

Answer 1

【答案】= 8

【解析】

①先证明△ABP≌△CBQ,再证明△QBD≌△PBD,即可得出PD=QD;②证明△BQD∽△PBD,即可利用对应边成比例求得PD·QD.

解:①当BD平分∠PBQ时，

∠PBQ=45°，

∴∠QBD=∠PBD=22.5°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠CBD=45°,

∴∠ABP=∠CBQ=22.5°+45°=67.5°，

在△ABP和△CBQ中，

∴△ABP≌△CBQ（ASA）,

∴BP=BQ，

在△QBD和△PBD中，

∴△QBD≌△PBD（SAS）,

∴PD=QD;

②当BD不平分∠PBQ时，

∵AB∥CQ，

∴∠ABQ=∠CQB，

∵∠QBD+∠DBP=∠QBD+∠ABQ=45°，

∴∠DBP=∠ABQ=∠CQB，

∵∠BDQ=∠ADQ+∠ADB=90°+45°=135°,∠BDP=∠CDP+∠BDC=90°+45°=135°,

∴∠BDQ=∠BDP,

∴△BQD∽△PBD，

∴,

∴PD·QD=BD2=22+22=8，

故答案为:=，8.