如图.在直角坐标系中.以点A(3.0)为圆心.以23为半径圆与x轴相交于点B.C.与y轴相交于点D.E．(1)若抛物线y=13x2+bx+c经过点C.D两点.求抛物线的解析式.并判断点B是否在该抛物线上．中的抛物线的对称轴上有一点P.使得△PBD的周长最小.求点P的坐标．中的抛物线的对称轴上的一点.在抛物线上是否存在这样的点M.使得以点B.C.Q.M为顶点的四边形BCQM是平行四边形?若存在.求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在直角坐标系中，以点A（

，0）为圆心，以2

为半径圆与x轴相交于点B，C，与y轴相交于点D，E．
（1）若抛物线y=

x²+bx+c经过点C，D两点，求抛物线的解析式，并判断点B是否在该抛物线上．
（2）在（1）中的抛物线的对称轴上有一点P，使得△PBD的周长最小，求点P的坐标．
（3）设Q为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M，使得以点B、C、Q、M为顶点的四边形BCQM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据题意A（

，0），得出B（-

，0）连接AD，在Rt△AOD中，可求OD，即D（0，-3），把C，D两点坐标代入抛物线y=

x²+bx+c，可求抛物线解析式；
（2）由（1）知，点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，连接CD，交抛物线对称轴于P点，P点即为所求，先求直线CD的解析式，已知P点横坐标x=

，代入直线CD的解析式即可求P；
（3）利用BC=4

，Q点横坐标是

，当M在Q点左边，则M点横坐标为

-4

=-3

，代入抛物线解析式可求M点坐标，进而利用当M在Q点右边求出M点坐标，．

解答：解：（1）如图：

∵OA=

，AB=AC=2

，
∴B（-

，0），C（3

，0），
在Rt△AOD中，AD=2

，OA=

，
∴OD=

AD2-OA2

=3，
∴D的坐标为：（0，-3），
又D，C两点在抛物线上，
则

c=-3

)2+3

b+c=0

，
解得：

b=-

c=-3

，
则抛物线的解析式为：y=

x2-

x-3，
当x=-

时，y=0，
故点B（-

，0）在抛物线上；

（2）如图：

∵y=

x²-

x-3=

(x-

)2-4，
∴抛物线y=

x2-

x-3的对称轴方程为：x=

，
在抛物线的对称轴上存在点P，使△PBD的周长最小．
∵BD的长为定值，
∴要使△PBD周长最小只需PB+PD最小．
连结DC，则DC与对称轴的交点即为使△PBD周长最小的点．
设直线DC的解析式为y=mx+n．
由

n=-3

m+n=0

，
解得：

n=-3

，
∴直线DC的解析式为：y=

x-3，
由

x-3

，
解得：

y=-2

，
故点P的坐标为：（

，-2）；

（3）存在，
如图：

设Q（

，t）为抛物线对称轴x=

上一点，M在抛物线上要使四边形BCQM为平行四边形，
则BC∥QM且BC=QM，点M在对称轴的左侧．
于是，过点Q作直线L∥BC与抛物线交于点M（x_m，t），
由BC=QM得QM=4

从而xm=-3

，
故t=

x²-

x-3
解得：t=12，
故在抛物线上存在点M（-3

，12），使得四边形BCQM为平行四边形；
故当M在Q点右边MQ=4

，则M点横坐标为：5

，可得纵坐标为：12，
另外：M在抛物线的顶点上也可以构造平行四边形，此时顶点坐标为：（

，-4），
故在抛物线上存在点M（-3

，12）或（5

，12）或（

，-4），使得四边形BCQM为平行四边形．

点评：本题考查了点的坐标及二次函数解析式的求法和二次函数综合应用，要求会在坐标系中求线段和最小的问题以及探求平行四边形的条件．

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