Question

16．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过E作EF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形ABFE是菱形；
（2）若AB=5，BE=8，BC=$\frac{15}{2}$，则菱形ABFE的面积为24，平行四边形ABCD的面积36．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，求出四边形ABFE是平行四边形，求出AB=AE，根据菱形的判定得出即可；
（2）过A作AM⊥BE于M，AN⊥BC于N，求出MB，根据勾股定理求出AM，求出△ABE的面积，即可得出菱形ABFE的面积，求出高AN，即可得出平行四边形的面积．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AE∥BF，
∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AE∥BF，
∴∠AEB=∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴平行四边形ABFE是菱形；

（2）解：
过A作AM⊥BE于M，AN⊥BC于N，
∵AB=AE，
∴BM=ME=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$×8=4，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}×BE×AM$=$\frac{1}{2}$×8×3=12，
∵四边形ABFE是菱形，
∴AE=BF，AE∥BF，
∴S_△ABE=S_△BFE=12，
∴菱形ABFE的面积为2×12=24，
∵四边形ABFE是菱形，
∴AB=BF=5，
∴5×AN=24，
∴AN=$\frac{24}{5}$，
∵BC=$\frac{15}{2}$，
∴平行四边形ABCD的面积是BC×AN=$\frac{15}{2}$×$\frac{24}{5}$=36，
故答案为：24，36．

点评 本题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质和判定进行推理是解此题的关键，难度适中．