Question

如图．在平面直角坐标系中，边长为

2

的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E．
（1）求证：△OAD≌△EAB；
（2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式；
（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，其关于直线BF的对称点在x轴上？若有，求出点P的坐标；若没有，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点可知BF垂直平分OD，然后求出∠ADO=∠ABE，再根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，然后利用“角边角”证明即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得AO=AE，再根据轴对称性求出OE=DE，然后根据正方形的边长列方程求出AO，然后写出点E、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（3）根据轴对称性可知BD与x轴关于BF对称，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出BD的解析式，再与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标．

解答：（1）证明：∵△BOD的外心I在中线BF上，
∴BF垂直平分OD，
∴∠ADO+∠AOD=∠ABE+∠AOD=90°，
∴∠ADO=∠ABE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
在△OAD和△EAB中，

∠ADO=∠ABE AB=AD ∠DAO=∠BAE=90°

，
∴△OAD≌△EAB（ASA）；

（2）∵△OAD≌△EAB，
∴AO=AE，
∵BF垂直平分OD，
∴OE=DE=

2

AO
∵正方形ABCD的边长为

2

，
∴AO+

2

AO=

2

，
解得AO=2-

2

，
∴点E的坐标为（2-

2

，2-

2

），
∵OB=AO+AB=2-

2

+

2

=2，
∴点B的坐标为（2，0），
设二次函数解析式为y=ax²+bx，
则

a(2- 2 )2+b(2- 2 )=2- 2 4a+2b=0

，
解得

a=- 2 2 b= 2

，
所以，二次函数解析式为y=-

2

2

x²+

2

x；

（3）∵BF垂直平分OD，
∴BD与x轴关于BF对称，
∴点P为抛物线与直线BD交点，
设直线BD的解析式为y=kx+b，
则

2k+b=0 (2- 2 )k+b= 2

，
解得

k=-1 b=2

，
所以，y=-x+2，
联立

y=-x+2 y=- 2 2 x2+ 2 x

，
解得

x1= 2 y1=2- 2

，

x2=2 y2=0

（为点B，舍去），
∴抛物线上存在点P（

2

，2-

2

），其关于直线BF的对称点在x轴上．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，三角形的外心的定义，（1）利用外心判断出BF垂直平分OD是解题的关键，（3）判断出点P为抛物线与直线BD交点是解题的关键．