Question

【题目】勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣，1955年希腊发行了两枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理，如图的勾股图中，已知，，.作四边形，满足点、在边上，点、分别在边，上，，、是直线与，的交点．那么的长等于(　　)

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

先根据勾股定理求出BC的长，双向延长线段AB交PM于点O，交QN于点R，则AO⊥MP，BR⊥QN，如图1，然后根据平角的定义、直角三角形的性质和等量代换可得∠4=∠5，根据SAS易证△ABC≌△DFC，可得DF=AB=5，∠6=∠1，∠8=∠5，进而可得∠7=∠4，于是有PD=PE，作PS⊥DE于点S，如图2，则在Rt△PDS中，利用三角函数的知识可求出PD的长，作QW⊥FG于点W，同理可求出FQ的长，进一步即可求出结果．

解：在△ABC中，∵，，，

∴，

双向延长线段AB交PM于点O，交QN于点R，则AO⊥MP，BR⊥QN，如图1，

由题意得：∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∠3+∠4=90°，∠1+∠5=90°，

∴∠4=∠5，

∵AC=DC，∠ACB=∠DCF=90°，CF=CB，

∴△ABC≌△DFC（SAS），

∴DF=AB=5，∠6=∠1，∠8=∠5，

∵∠6+∠7=90°，∠6+∠8=90°，

∴∠7=∠8，

∴∠7=∠4，

∴PD=PE，

作PS⊥DE于点S，如图2，则，

在Rt△PDS中，；

同理可得：QF=QG，∠9=∠1，

作QW⊥FG于点W，则，

在Rt△FQW中，；

∴．

故选：A．