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【题目】如图,AB是O的直径,弦CDAB,垂足为H,连结AC,过上一点E作EGAC交CD的延长线于点G,连结AE交CD于点F,且EG=FG,连结CE.

(1)求证:ECF∽△GCE;

(2)求证:EG是O的切线;

(3)延长AB交GE的延长线于点M,若tanG=,AH=,求EM的值.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)

【解析】

试题分析:(1)由ACEG,推出G=ACG,由ABCD推出,推出CEF=ACD,推出G=CEF,由此即可证明;

(2)欲证明EG是O的切线只要证明EGOE即可;

(3)连接OC.设O的半径为r.在RtOCH中,利用勾股定理求出r,证明AHC∽△MEO,可得,由此即可解决问题;

试题解析:(1)证明:如图1ACEG,∴∠G=ACG,ABCD,∴∠CEF=ACD,∴∠G=CEF,∵∠ECF=ECG,∴△ECF∽△GCE.

(2)证明:如图2中,连接OEGF=GE,∴∠GFE=GEF=AFH,OA=OE,∴∠OAE=OEA,∵∠AFH+FAH=90°,∴∠GEF+AEO=90°,∴∠GEO=90°,GEOE,EG是O的切线.

(3)解:如图3中,连接OC.设O的半径为r.

在RtAHC中,tanACH=tanG==AH=HC=,在RtHOC中,OC=r,OH=r﹣,HC=r=GMAC,∴∠CAH=M,∵∠OEM=AHC,∴△AHC∽△MEO,EM=

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