Question

12．已知一次函数分别交x，y轴于点A（3$\sqrt{3}$，0），B（0，3），点M是AB的中点．
（1）将△BOM沿OM翻折后点B落在B′，求直线BB′的解析式；
（2）若以点O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）由点M是AB的中点可求得点M的坐标，依据特殊锐角三角函数值可求得∠BAO=30°，然后依据含30°直角三角形的性质可证得OB=BM，由轴对称图形的性质可知：BM=B′M，OB=OB′，从而可证明四边形BOB′M是菱形．从而可求得B′（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．最后依据待定系数法可求得直线BB′的解析式；
（2）如图2所示：分为MN为四边形的边或MN为四边形的对角线两种情况画出图形，然后依据对边平行且相的等的四边形、对角线互相平分的四边形是平行四边形可确定出点N的坐标．

解答 解：（1）如图1所示：

∵A（3$\sqrt{3}$，0），B（0，3），
∴OB=3，OA=3$\sqrt{3}$．
∴tan∠BAO=$\frac{3}{3\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴∠BAO=30°．
∴OB=$\frac{1}{2}$AB．
∵M是AB的中点，
∴MB=MA=$\frac{1}{2}$AB．
∴OB=BM．
∵点B与点B′关于OM对称，
∴BM=B′M，OB=OB′．
∴OB=OB′=MB′=MB．
∴四边形BOB′M是菱形．
∴MB′∥OB，MB′=OB=3．
∵M是AB的中点，
∴M（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
∴B′（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．
设直线BB′的解析式为y=kx+3．
∵将B′的坐标代入得：$\frac{3\sqrt{3}}{2}k$+3=$-\frac{3}{2}$，解得：k=-$\sqrt{3}$，
∴直线BB′的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+3．
（2）如图2所示：

由（1）可知点N的坐标为（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．
如图3所示：

当MN∥OB，且MN=OB时，四边形BOMN为平行四边形，
∵M（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），OB=MN=3，
∴N（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{9}{2}$）．
如图4所示：当CM=CN，BC=OC时，四边形BOMN为平行四边形．

∵M是AB的中点，∠BOA=90°，
∴OM=BM．
又∵BC=OC，
∴MN⊥OB．
又∵NC=CM，
∴点N与点M关于y轴对称．
∴点N的坐标为（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、含30度直角三角形的性质、特殊锐角三角函数值、菱形的性质和判定、平行四边形的判定，根据题意画出符合题意得图形是解题的关键．