Question

20．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AD=18，点E在AC上且CE=$\frac{1}{2}$AC，连接BE，与AD相交于点F．若BE=15，则△DBF的周长是24．

Answer 1

分析 根据等腰三角形三线合一的性质得出BD=CD，又由CE=$\frac{1}{2}$AC，可知F是△ABC的重心，根据重心的性质得出BF=$\frac{2}{3}$BE=10，DF=$\frac{1}{3}$AD=6，在Rt△BDF中利用勾股定理求出BD，进而得出△DBF的周长．

解答 解：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中线，
∵CE=$\frac{1}{2}$AC，即BE是△ABC的中线，
∵BE与AD相交于点F，
∴F是△ABC的重心，
∴BF=$\frac{2}{3}$BE=10，DF=$\frac{1}{3}$AD=6．
在Rt△BDF中，∵∠BDF=90°，
∴BD=$\sqrt{B{F}^{2}-D{F}^{2}}$=8，
∴△DBF的周长=BD+DF+BF=8+6+10=24．
故答案为24．

点评 本题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，重心的定义，得出F是△ABC的重心是解题的关键．