Question

8．已知：如图，O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连结DF，交BE的延长线于点G，连结OG．
（1）求证：△BCE≌△DCF：
（2）OG与BF有什么数量关系？证明你的结论；
（3）若GE•GB=4-2$\sqrt{2}$，求正方形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质和全等三角形的判定定理证明；
（2）根据等腰三角形的三线合一得到DG=GF，根据三角形中位线定理解答；
（3）设BC=x，用x表示出CF，利用勾股定理表示出DF，证明△DGE∽△BGD，根据相似三角形的性质得到DG²=GE•GB，计算即可．

解答 （1）证明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠BCD=90°．
在BCE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCE=∠DCF}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF；
（2）解：OG=$\frac{1}{2}$BF．
∵△BCE≌△DCF，
∴∠EBC=∠FDC，
∵∠BEC=∠DEG，
∴∠DGE=∠BCE=90°，即BG⊥DF．
∵BE平分∠DBC，
∴BD=BF，G为DF的中点．
∵O为正方形ABCD的中心，
∴O为BD的中点．
∴OG=$\frac{1}{2}$BF；
（3）解：设BC=x，则DC=x，BD=$\sqrt{2}$x，
由（2），得BF=BD=$\sqrt{2}$x．
∴CF=BF-BC=（$\sqrt{2}$-1）x．
在Rt△DCF中，
DF²=DC²+CF²=x²+（$\sqrt{2}$-1）²x²，
∵∠GDE=∠GBC=∠GBD，∠DGE=∠BGD=90°，
∴△DGE∽△BGD，
∴$\frac{DG}{GB}$=$\frac{GE}{DG}$，
即DG²=GE•GB=4-2$\sqrt{2}$，
∵DF=2DG，
∴DF²=4DG²=4（4-2$\sqrt{2}$），
则x²+（$\sqrt{2}$-1）²x²=4（4-2$\sqrt{2}$）．
解得x²=4．
∴正方形ABCD的面积为4．

点评 本题考查的是正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理、相似三角形的性质定理以及勾股定理的应用，掌握等腰三角形的三线合一以及相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．