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【题目】问题发现

1)如图①,RtABC中,∠C90°AC6BC8,点DAB边上任意一点,则CD的最小值为   

2)如图②,矩形ABCD中,AB6BC8,点M、点N分别在EDBC上,求CM+MN的最小值;

3)如图③.矩形ABCD中,AB6BC8,点EAB边上一点,且AE4,点FEC边上的任意一点,把BEF沿EF翻折,点B的对应点为G,连接AGCG,四边形AGCD的面积是否存在最小值,若在在,求这个最小值及此时BF的长度.若不存在,请说明理由.

【答案】(1);(2);(3)见解析.

【解析】

1)根据点到直线的距离最小,再用三角形的面积即可得出结论;

2)先根据轴对称确定出点MN的位置,再利用面积求出CF,进而求出CE,最后用三角函数即可求出CM+MN的最小值;

3)先确定出EGAC时,四边形AGCD的面积最小,再用锐角三角函数求出点GAC的距离,最后用面积之和即可得出结论,再用相似三角形得出的比例式求出CF即可求出BF

解:(1)如图,过点CCD⊥ABD,根据点到直线的距离垂线段最小,此时CD最小,

Rt△ABC中,AC6BC8,根据勾股定理得,AB10

AC×BCAB×CD

∴CD

故答案为:

2)如图,作出点C关于BD的对称点E,过点EEN⊥BCN,交BDM,连接CM,此时CM+MNEN最小;

四边形ABCD是矩形,

∴∠BCD90°CDAB6,根据勾股定理得,BD10

∵CE⊥BC

BD×CFBC×CD

∴CF

由对称得,CE2CF

Rt△BCF中,cos∠BCF

∴sin∠BCF

Rt△CEN中,ENCEsin∠BCE

即:CM+MN的最小值为:

3)如图3

四边形ABCD是矩形,

∴CDAB6ADBC8∠ABC∠D90°,根据勾股定理得,AC10

∵AB6AE4

FBC上的任何位置时,点G始终在AC的下方,

设点GAC的距离为h

∵S四边形AGCDSACD+SACGAD×CD+AC×h×8×6+×10×h5h+24

要四边形AGCD的面积最小,即:h最小,

G是以点E为圆心,BE2为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点,

∴EG⊥AC时,h最小,

由折叠知∠EGF∠ABC90°

延长EGACH,则EH⊥AC

Rt△ABC中,sin∠BAC

Rt△AEH中,AE4sin∠BAC

∴EHAE

∴hEHEG2

∴S四边形AGCD最小5h+24+2430

过点FFM⊥ACM

∵EH⊥FGEH⊥AC

四边形FGHM是矩形,

∴FMGH

∵∠FCM∠ACB∠CMFCBA90°

∴△CMF∽△CBA

∴CF2

∴BFBCCF826

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