【题目】问题发现
(1)如图①,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点D是AB边上任意一点,则CD的最小值为 ;
(2)如图②,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点M、点N分别在ED、BC上,求CM+MN的最小值;
(3)如图③.矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是AB边上一点,且AE=4,点F是EC边上的任意一点,把△BEF沿EF翻折,点B的对应点为G,连接AG、CG,四边形AGCD的面积是否存在最小值,若在在,求这个最小值及此时BF的长度.若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2);(3)见解析.
【解析】
(1)根据点到直线的距离最小,再用三角形的面积即可得出结论;
(2)先根据轴对称确定出点M和N的位置,再利用面积求出CF,进而求出CE,最后用三角函数即可求出CM+MN的最小值;
(3)先确定出EG⊥AC时,四边形AGCD的面积最小,再用锐角三角函数求出点G到AC的距离,最后用面积之和即可得出结论,再用相似三角形得出的比例式求出CF即可求出BF.
解:(1)如图①,过点C作CD⊥AB于D,根据点到直线的距离垂线段最小,此时CD最小,
在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,根据勾股定理得,AB=10,
∵AC×BC=AB×CD,
∴CD==,
故答案为:;
(2)如图②,作出点C关于BD的对称点E,过点E作EN⊥BC于N,交BD于M,连接CM,此时CM+MN=EN最小;
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BCD=90°,CD=AB=6,根据勾股定理得,BD=10,
∵CE⊥BC,
∴BD×CF=BC×CD,
∴CF==,
由对称得,CE=2CF=,
在Rt△BCF中,cos∠BCF==,
∴sin∠BCF=,
在Rt△CEN中,EN=CEsin∠BCE==;
即:CM+MN的最小值为:;
(3)如图3,
∵四边形ABCD是矩形,
∴CD=AB=6,AD=BC=8,∠ABC=∠D=90°,根据勾股定理得,AC=10,
∵AB=6,AE=4,
∴点F在BC上的任何位置时,点G始终在AC的下方,
设点G到AC的距离为h,
∵S四边形AGCD=S△ACD+S△ACG=AD×CD+AC×h=×8×6+×10×h=5h+24,
∴要四边形AGCD的面积最小,即:h最小,
∵点G是以点E为圆心,BE=2为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点,
∴EG⊥AC时,h最小,
由折叠知∠EGF=∠ABC=90°,
延长EG交AC于H,则EH⊥AC,
在Rt△ABC中,sin∠BAC==,
在Rt△AEH中,AE=4,sin∠BAC==,
∴EH=AE=,
∴h=EH﹣EG=﹣2=,
∴S四边形AGCD最小=5h+24=5×+24=30,
过点F作FM⊥AC于M,
∵EH⊥FG,EH⊥AC,
∴四边形FGHM是矩形,
∴FM=GH=
∵∠FCM=∠ACB,∠CMF=CBA=90°,
∴△CMF∽△CBA,
∴=,
∴=,
∴CF=2,
∴BF=BC﹣CF=8﹣2=6.
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【题目】如图,在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=2,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合),在AC上取一点E,使∠ADE=30°.
(1)求证:△ABD∽△DCE;
(2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围.
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【题目】如图,D是等边△ABC边AB上的一点,且AD:DB=1:2,现将△ABC折叠,使点C与D重合,折痕为EF,点E、F分别在AC和BC上,则CE:CF的值为( )
A. B. C. D.
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【题目】已知如图,二次函数的图象经过A(3,3),与x轴正半轴交于B点,与y轴交于C点,△ABC的外接圆恰好经过原点O.
(1)求B点的坐标及二次函数的解析式;
(2)抛物线上一点Q(m,m+3),(m为整数),点M为△ABC的外接圆上一动点,求线段QM长度的范围;
(3)将△AOC绕平面内一点P旋转180°至△A'O'C'(点O'与O为对应点),使得该三角形的对应点中的两个点落在的图象上,求出旋转中心P的坐标.
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.
(1)试求A,B,C的坐标;
(2)将△ABC绕AB中点M旋转180°,得到△BAD.3
①求点D的坐标;
②判断四边形ADBC的形状,并说明理由;
(3)在该抛物线对称轴上是否存在点P,使△BMP与△BAD相似?若存在,请直接写出所有满足条件的P点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,A、B是反比例函数图象上的两点,过点A作AC⊥y轴,垂足为C,交OB于点D,且D为OB的中点,若△ABO的面积为4,则k的值为______.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD中顶点A坐标(0,6),顶点B坐标(-2,0),顶点C坐标(8,0),点E为平行四边形ABCD的对角线的交点,求过点E且到点C的距离最大的直线解析式____.
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【题目】对于二次函数y=x2﹣4x+3和一次函数y=﹣x+1,我们把y=t(x2﹣4x+3)+(1﹣t)(﹣x+1)称为这两个函数的“再生二次函数”,其中t是不为零的实数,其图象记作抛物线E.现有点A(1,0)和抛物线E上的点B(2,n),请完成下列任务:
(尝试)
⑴判断点A是否在抛物线E上;
⑵求n的值.
(发现)通过(1)和(2)的演算可知,对于t取任何不为零的实数,抛物线E总过定点,请你求出定点的坐标.
(应用)二次函数y=﹣3x2+8x﹣5是二次函数y=x2﹣4x+3和一次函数y=﹣x+1的一个“再生二次函数”吗?如果是,求出t的值;如果不是,说明理由.
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