Question

【题目】对于二次函数y＝x2﹣4x+3和一次函数y＝﹣x+1，我们把y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．现有点A（1，0）和抛物线E上的点B（2，n），请完成下列任务：

（尝试）

⑴判断点A是否在抛物线E上；

⑵求n的值．

（发现）通过（1）和（2）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，请你求出定点的坐标．

（应用）二次函数y＝﹣3x2+8x﹣5是二次函数y＝x2﹣4x+3和一次函数y＝﹣x+1的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．

Answer 1

【答案】[尝试]（1）点A在抛物线E上；（2）n=-1；[发现]：（1，0）和（2，﹣1），[应用]：是，t=-3.

【解析】

[尝试]（1）将x=1代入y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）计算后进行判断；
（2）将x=2代入 y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）即可求解；

[发现]将抛物线E的表达式进行因式分解后，通过观察式子特点，即可得出经过的定点；
[应用] 根据“再生二次函数”的定义列出等式即可求解．

解：[尝试]（1）当x＝1时，y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）＝0，

故点A在抛物线E上；

（2）x＝2时，n＝y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）＝﹣1；

[发现]

易得当x=1时，y=0，即抛物线经过点（1,0），

当x=2时，y=-1，即抛物线经过点（2，-1），

∴抛物线E总过定点（1，0）和（2，﹣1），

[应用]是，理由：

由题意得：，

化简并整理得：t＝﹣3．