Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C（0，3），tan∠OAC=．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点H是线段AC上任意一点，过H作直线HN⊥x轴于点N，交抛物线于点P，求线段PH的最大值；

（3）点M是抛物线上任意一点，连接CM，以CM为边作正方形CMEF，是否存在点M使点E恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2﹣x+3;(2);(3)点M的坐标是（﹣4，0），（﹣，），（﹣，）或（2，0）．

【解析】

试题分析：（1）由点C的坐标以及tan∠OAC=可得出点A的坐标，结合点A、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，由点A、C的解析式利用待定系数法即可求出直线AC的解析式，设N（x，0）（﹣4＜x＜0），可找出H、P的坐标，由此即可得出PH关于x的解析式，利用配方法即二次函数的性质即可解决最值问题；（3）过点M作MK⊥y轴于点K，交对称轴于点G，根据角的计算依据正方形的性质即可得出△MCK≌△MEG（AAS），进而得出MG=CK．设出点M的坐标利用正方形的性质即可得出点G、K的坐标，由正方形的性质即可得出关于x的含绝对值符号的一元二次方程，解方程即可求出x值，将其代入抛物线解析式中即可求出点M的坐标．

试题解析：（1）∵C（0，3），

∴OC=3，

∵tan∠OAC=，

∴OA=4，

∴A（﹣4，0）．

把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=ax2+2ax+c中，

得，解得：，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+3．

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，

把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=kx+b中，

得：，解得：，

∴直线AC的解析式为y=x+3．

设N（x，0）（﹣4＜x＜0），则H（x， x+3），P（x，﹣x2﹣x+3），

∴PH=﹣x2﹣x+3﹣（x+3）=﹣x2﹣x=﹣（x﹣2）2+，

∵﹣＜0，

∴PH有最大值，

当x=2时，PH取最大值，最大值为．

（3）过点M作MK⊥y轴于点K，交对称轴于点G，则∠MGE=∠MKC=90°，

∴∠MEG+∠EMG=90°，

∵四边形CMEF是正方形，

∴EM=MC，∠MEC=90°，

∴∠EMG+∠CMK=90°，

∴∠MEG=∠CMK．

在△MCK和△MEG中，，

∴△MCK≌△MEG（AAS），

∴MG=CK．

由抛物线的对称轴为x=﹣1，设M（x，﹣x2﹣x+3），则G（﹣1，﹣x2﹣x+3），K（0，﹣x2﹣x+3），

∴MG=|x+1|，CK=|﹣x2﹣x+3﹣3|=|﹣x2﹣x|=|x2+x|，

∴|x+1|=|x2+x|，

∴x2+x=±（x+1），

解得：x1=﹣4，x2=﹣，x3=﹣，x4=2，

代入抛物线解析式得：y1=0，y2=，y3=，y4=0，

∴点M的坐标是（﹣4，0），（﹣，），（﹣，）或（2，0）．