Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，O是边AC上的点，以OC为半径的圆分别交边BC、AC于点D、E，过点D作DF⊥AB于点F．

（1）求证：直线DF是⊙O的切线；

（2）若OC＝1，∠A＝45°，求劣弧DE的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）π．

【解析】

（1）连结OD，根据等腰三角形的性质得到OD∥AB，根据平行线的性质得到∠ODF＝90°，根据切线的判定定理证明；

（2）根据平行线的性质得到∠AOD＝180°﹣45°＝135°，根据弧长公式计算即可．

证明：如图，连结OD，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∵OC＝OD，

∴∠ODC＝∠ACB，

∴∠B＝∠ODC，

∴OD∥AB，

∵DF⊥AB，

∴∠ODF＝∠BFD＝90°，

∵OD为半径，

∴直线DF是⊙O的切线；

（2）解：∵∠A＝45°，OD∥AB，

∴∠AOD＝180°﹣45°＝135°，

∴劣弧DE的长为．