Question

【题目】如图，点为线段上一点，分别以为底作顶角为的等腰三角形，顶角顶点分别为(点在的同侧，点在的另一侧)

（1）如图 1，若点是的中点，则

（2）如图 2，若点不是的中点，①求证：为等边三角形；

②如图 3，连接，若，求的长．

Answer 1

【答案】（1）30；（2）①见解析；②

【解析】

（1）过作于，连接，先求出∠EAC=∠ACE=30°，设，得到，再求出DC=CE=2x，根据等腰三角形的性质及平行线的性质得到，得到，再根据三角形内角和求出答案；

（2）①延长交于，连接，先证明 ，，得到四边形、四边形是平行四边形，证得△AEH是等边三角形，再证明≌△FCE得到DE=EF，∠DEF=∠CEH=60°，由此得到结论；

②过作于，利用已知及直角三角形30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出AC=2，，根据等腰三角形的性质求出CM=1，根据求出CE，再根据勾股定理求出DE，即可得到EF.

解：（1）如图1，过作于，连接，

∵AE=CE，∠AEC=120°，

∴∠EAC=∠ACE=30°，

设，则，，

，

，

是的中点，，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

∵∠DAE=∠DAC+∠EAC=60°，

∴∠ADE=180°-∠DAE-∠AED=30°，

故答案为：30；

（2）①延长交于，连接，如图2，

，

，

，

，

同理：，，

，

，

同理，

四边形、四边形是平行四边形，

，，

，

，

，

是等边三角形，

，，

，

．

，

∴≌△FCE(SAS)，

，，

，

是等边三角形；

②如图3，过作于，

，，

，

，

，

，

，

∴AC=2，，

，，

，

，

，

，

，

中，，

由①知：是等边三角形，

．