【题目】已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中,∠ACB=∠AED=90°,且AD=AC.
(1)发现:如图1,当点E在AB上且点C和点D重合时,若点M、N分别是DB、EC的中点,则MN与EC的位置关系是 ,MN与EC的数量关系是 .
(2)探究:若把(1)小题中的△AED绕点A顺时针旋转45°得到的图2,连接BD和EC,并连接DB、EC的中点M、N,则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗?若成立,请给予证明,若不成立,请说明理由.
(3)若把(1)小题中的△AED绕点A逆时针旋转45°得到的图3,连接BD和EC,并连接DB、EC的中点M、N,则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗?若成立,请给予证明,若不成立,请说明理由.
【答案】(1)MN⊥EC,MN=EC;(2)成立,理由见解析;(3)成立,理由见解析
【解析】
试题分析:(1)根据中位线定理,结合等腰直角三角形性质即可直接得出结论;
(2)连接EM并延长交BC于F,证明△EDM≌△FBM,运用线段的等量代换即可求解;
(3)延长ED交BC于点F,连接AF、MF,结合矩形的性质和等腰直角三角形性质,合理运用角的等量代换即可求解.
解:(1)MN⊥EC,MN=EC;
由等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中,∠ACB=∠AED=90°,
可知,AE=BE=EC,DE⊥AB,
∵点M、N分别是DB、EC的中点,
∴MN∥AB,且MN=BE,
∴MN⊥EC,MN=EC;
(2)如图2
连接EM并延长交BC于F,
∵∠AED=∠ACB=90°,
∴DE∥BC,
∴∠DEM=∠AFM,∠EDM=∠MBF,
又BM=MD,
在△EDM和△FBM中,
,
∴△EDM≌△FBM,
∴BF=DE=AE,EM=FM,
∴MN=FC=
(BC﹣BF)=
(AC﹣AF)=
EC,
且MN⊥EC;
(3)如图3
延长ED交BC于点F,连接AF、MF,则AF为矩形ACFE对角线,所以必经过EC的中点N且AN=NF=EN=NC.
在Rt△BDF中,M是BD的中点,∠B=45°,
∴FD=FB,
∴FM⊥AB,
∴MN=NA=NF=NC,
即MN=EC,
∴∠NAM=∠AMN,∠NAC=∠NCA,
∴∠MNF=∠NAM+∠AMN=2∠NAM,∠FNC=∠NAC+∠NCA=2∠NAC,
∴∠MNC=∠MNF+∠FNC=2∠NAM+2∠NAC=2(∠NAM+∠NAC)=2∠DAC=90°,
∴∠MNC=90°,
即MN⊥FC且MN=EC.
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【题目】如图,n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,设△B2D1C1的面积为S1 , △B3D2C2的面积为S2 , …,△Bn+1DnCn的面积为Sn , 则Sn=(用含n的式子表示).
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【题目】如图,在直角坐标系xOy中,A(﹣4,0),B(0,2),连结AB并延长到C,连结CO,若△COB∽△CAO,则点C的坐标为( )
A.(1, )
B.( ,
)
C.( ,2
)
D.( ,2
)
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【题目】已知ΔABC的三边长为a、b、c,下列条件能够说明ΔABC是直角三角形的是( )
A. a:b:c=5:12:15 B. 3a=4b=5c C. a:b:c=1:2: D. a=b=
c
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【题目】如图,已知四边形ABCD是平行四边形,BC=3AB,A,B两点的坐标分别是(﹣1,0),(0,2),C,D两点在反比例函数y= (x<0)的图象上,则k的值等于 .
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【题目】定义:如图1,点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点
(1)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,若AM=3,MN=4求BN的长;
(2)已知点C是线段AB上的一定点,其位置如图2所示,请在BC上画一点D,使C,D是线段AB的勾股分割点(要求尺规作图,保留作图痕迹,画出一种情形即可)
(3)如图3,正方形ABCD中,M,N分别在BC,DC上,且BM≠DN,∠MAN=45°,AM,AN分别交BD于E,F
求证:①E、F是线段BD的勾股分割点;
②△AMN的面积是△AEF面积的两倍.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列说法错误的是( )
A.图象关于直线x=1对称
B.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最小值是﹣4
C.﹣1和3是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根
D.当x<1时,y随x的增大而增大
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(﹣3,5),C(﹣4,1).
①把△ABC向右平移2个单位得△A1B1C1 , 请画出△A1B1C1 , 并写出点A1的坐标;
②把△ABC绕原点O旋转180°得到△A2B2C2 , 请画出△A2B2C2 .
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