Question

已知

A

B+C

=

B

C+A

=

C

A+B

，求

A

A+B

•

B

B+C

•

C

C+A

．

Answer 1

考点：对称式和轮换对称式

专题：

分析：先令

A

B+C

=

B

C+A

=

C

A+B

=k，求出k的值，再代入代数式进行计算即可．

解答：解：∵令

A

B+C

=

B

C+A

=

C

A+B

=k，
∴A=（B+C）k，B=（C+A）k，C=（A+B）k，
∴A+B+C=2（A+B+C）k，
∴（A+B+C）（1-2k）=0，
∴A+B+C=0或1-2k=0．
当A+B+C=0时，B+C=-A，
∴A=（B+C）k=-Ak，解得k=-1，
∴原式=

ABC

(A+B)(B+C)(C+A)

=k³=（-1）³=-1；
当1-2k=0时，k=

1

2

，
∴原式=

ABC

(A+B)(B+C)(C+A)

=k³=（

1

2

）³=

1

8

．
综上所述，

A

A+B

•

B

B+C

•

C

C+A

的值为-1或

1

8

．

点评：本题考查的是对称式和轮换对称式，先根据题意得出A+B+C=2（A+B+C）k是解答此题的关键．