Question

对于图形S和图象T给一下定义：点P在图象S上，点Q在图形T上，则称点P与点Q的距离的最小值为图形S与图形T的距离．在平面直角坐标系xOy中，⊙M的半径为1，且圆心M的坐标为（t，0），直线y=-

3

3

x+2

3

与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）若点A与⊙M的距离为

1

2

，请直接写出实数t的所有可能值；
（2）若点C的坐标为（6，2

3

），⊙M与△ABC的距离为0，求t的取值范围；
（3）记线段AB与⊙M的距离为d，若0＜d＜1，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）先根据坐标轴点的坐标特征得到A（6，0），B（0，2

3

），利用三角函数的定义可计算出∠OAB=30°，然后利用新定义得到AM=1.5，再分类讨论：当点M在点A的左侧时，OM=OA-AM=4.5，当点M在点A的右侧时，OM=OA+AM=7.5，即t=4.5或7.5；
（2）根据C点坐标可判断CA⊥x轴，根据新定义得到⊙M与△ABC的边相切或相交，作MH⊥AB于H，根据切线的判定，当MH=1时，⊙M与AB相切于H，可计算出此时AM=2MH=2，得到t=4；当点M在点A的右侧时，当MA=1时，⊙M与AC相切于A，此时t=7，所以4≤t≤7时，⊙M与△ABC的距离为0；
（3）分类讨论：当点M在点A的左侧时，由0＜d＜1，根据新定义得1＜MH＜2，而AM=2MH，则2＜AM＜4，于是得到2＜t＜4；当点M在点A的右侧时，点M到点A的距离为线段AB与⊙M的距离，则1＜MA＜2，所以7＜t＜8．

解答：解：（1）当y=0时，-

3

3

x+2

3

=0，解得x=6，则A（6，0）；
当x=0时，y=-

3

3

x+2

3

=2

3

，则B（0，2

3

），
∵tan∠OAB=

OB

OA

=

2 3

6

=

3

3

，
∴∠OAB=30°，
∵点A与⊙M的距离为

1

2

，
∴AM=1+

1

2

=1.5，
当点M在点A的左侧时，OM=OA-AM=6-1.5=4.5，
当点M在点A的右侧时，OM=OA+AM=6+1.5=7.5，
即t=4.5或7.5；
（2）∵点C的坐标为（6，2

3

），
∴CA⊥x轴，
∵⊙M与△ABC的距离为0，
∴⊙M与△ABC的边相切或相交，
作MH⊥AB于H，当MH=1时，⊙M与AB相切于H，
∵∠OAB=30°，
∴AM=2MH=2，此时t=4，
当点M在点A的右侧时，当MA=1时，⊙M与AC相切于A，此时t=7，
∴t的取值范围为4≤t≤7；
（3）当点M在点A的左侧时，
∵0＜d＜1，
∴1＜MH＜2，
∵AM=2MH，
∴2＜AM＜4，
∴2＜OM＜4，即2＜t＜4；
当点M在点A的右侧时，
∵0＜d＜1，
∴1＜MA＜2，
∴1＜OM＜8，
即7＜t＜8．
综上所述，0＜d＜1，实数t的取值范围为2＜t＜4或7＜t＜8．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定方法、一次函数图象上点的坐标特征；提高对新概念的理解能力；会运用分类讨论的思想解决数学问题．