Question

12．已知关于x的一元二次方程（x-1）（x-2）-m²=0
（1）请说明对于任意实数m方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程两实数根为x₁，x₂，且满足（x₁+x₂）²=3-x₁x₂，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先把方程（x-1）（x-2）-m²=0变形为x²-3x+2-m²=0，得出△=9-4（2-m²）=3+4m²＞0，即可得出答案；
（2）利用根与系数的关系可以得到x₁+x₂=3，x₁•x₂=2-m²，代入（x₁+x₂）²=3-x₁x₂，即可得到结果．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程（x-1）（x-2）-m²=0，
∴x²-3x+2-m²=0，
∴△=9-4（2-m²）=1+4m²＞0，
∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程两实数根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=3，x₁•x₂=2-m²，
∵（x₁+x₂）²=3-x₁x₂，
∴9=3-2+m²，
∴m=±2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac和一元二次方程的根与系数的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．