Question

13．有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为y，且y是x的二次函数，已知输入值为-2，0，1时，相应的输出值分别为5，-4．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象，并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设一般式y=ax²+bx+c，再把三组对应值分别代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可得到抛物线解析式；
（2）先把一般式配成顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，4），再通过解方程x²-2x-3=0得到抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，-1），然后利用描点法画出二次函数的图象，
再写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可．

解答 解：（1）设所求二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
根据题意得$\left\{\begin{array}{l}a{（-2）^2}+b（-2）+c=5\\ a•{0^2}+b•0+c=-3\\ a+b+c=-4\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}c=-3\\ 2a-b=4\\ a+b=-1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\\ c=-3\end{array}\right.$，
所以所求的解析式为：y=x²-2x-3；
（2）y=x²-2x-3=（x-1）²-4，抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，4），
当y=0时，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，则抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，-1），
如图，

当输出值y为正数时，输入值x的取值范围是x＜-1或x＞3．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的图象．