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    5．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C在第四象限，顶点A在x轴正半轴上，顶点B在y轴负半轴上．BC∥x轴，AC∥y轴，将Rt△ABC绕点B逆时针旋转，使点C落在y轴正半轴上，得到Rt△DBE．已知D（-2，2），抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c过B、C两点．
    （1）求抛物线的函数表达式；
    （2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线EC上滑动，且与EC交于另一点Q，随着点P的滑动，线段PQ的长度是否保持不变？若是，请求出PQ的长度；若不是，请说明理由；
    （3）是否存在以点P、D、E为顶点的三角形与以点A、C、Q为顶点的三角形相似？若存在，求出所有点P的坐标（若有多种情况，只需写一种情况的解题过程，其余的情况，直接写出P的坐标）．

    分析 （1）求出B、C两点坐标代入抛物线解析式，解方程组即可．
    （2）结论：线段PQ的长度保持不变．设滑动后的点P坐标为（2-h，k），则平移后点Q为（4-h，-2+k），利用两点间距离公式计算即可解决问题．
    （3））①如图2中，当点P在线段CE的延长线上时，点Q在线段CE上时，设QE=t，由△PED∽△ACQ，得$\frac{ED}{CQ}$=$\frac{EP}{AC}$，解方程即可解决问题．
    ②当点Q在EC的延长线上时，△PED∽△ACQ，设PC=t，方法类似．

    解答 解：（1）∵D（-2，2），
    ∴DE=OE=2，
    ∵RT△ABC绕点B逆时针旋转得到RT△DBE，
    ∴RT△ABC≌RT△DBE，∠EBC=90°，
    ∴AC=DE，BC=BE，四边形OBCA为矩形，
    ∴AC=DE=OB=2，BC=BE=4，
    ∴B（0，-2），C（4，-2），E（0，2），
    把B（0，-2），C（4，-2）代入y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c，
    得$\left\{\begin{array}{l}{c=-2}\\{-8+4b+c=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-2}\end{array}\right.$
    ∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x2+2x-2．

    （2）结论：线段PQ的长度保持不变．
    由y=-$\frac{1}{2}$x2+2x-2=-$\frac{1}{2}$（x-2）2，
    设滑动后的点P坐标为（2-h，k），则平移后点Q为（4-h，-2+k），
    分别过点P、Q作x轴、y轴的垂线交于点H，
    由勾股定理可知：PQ=$\sqrt{[2-h-（4-h）]^{2}+[k-（-2+k）]^{2}}$=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，

    （3）①如图2中，当点P在线段CE的延长线上时，点Q在线段CE上时，设QE=t，
    则EP=2$\sqrt{2}$-t，CQ=4$\sqrt{2}$-t，
    由EP≠CQ，∠PED=∠ACQ=45°，则△PED∽△ACQ，
    ∴$\frac{ED}{CQ}$=$\frac{EP}{AC}$，
    ∴$\frac{2}{4\sqrt{2}-t}$=$\frac{2\sqrt{2}-t}{2}$，
    ∴t2-6$\sqrt{2}$t+12=0，
    解得t=3$\sqrt{2}$±$\sqrt{6}$，
    而3$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$＞2$\sqrt{2}$（不合题意舍弃），
    ∴t=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$，
    此时EP=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
    ∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$EP=$\sqrt{3}$-1，
    ∴点P坐标为（1-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$+1）．
    ②当点Q在EC的延长线上时，△PED∽△ACQ，设PC=t，
    则EP=4$\sqrt{2}$-t，CQ=2$\sqrt{2}$-t，
    ∴$\frac{ED}{CQ}$=$\frac{EP}{AC}$，
    ∴$\frac{2}{2\sqrt{2}-t}$=$\frac{4\sqrt{2}-t}{2}$．
    解得t=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$或3$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$（舍弃），
    此时EP=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，
    $\frac{\sqrt{2}}{2}$EP=$\sqrt{3}$+1，
    ∴P2（$\sqrt{3}$+1，1-$\sqrt{3}$）．
    综上所述满足条件的点P坐标为P1（1-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$+1），P2（$\sqrt{3}$+1，1-$\sqrt{3}$）．

    点评 本题考查一次函数综合题、旋转变换、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会利用参数解决问题，学会分类讨论，属于中考压轴题．

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