Question

17．在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，在四边形BDEC中，DB=DE，∠BDE=2α，M为EC的中点，
（1）求证：AM⊥DM（两种做法）
（2）当α等于多少度时，AM=DM？

Answer 1

分析 （1）方法一，如图1，延长CA至F点，使得AB=AC=AF，连接BF，得到△FBC为直角三角形，∠FBC=90°，延长ED至H点，使得DB=DE=DH，连接BH，BE，得到△HBE为直角三角形，∠HBE=90°，推出△FBC∽△HBE，得到$\frac{FB}{BE}=\frac{CB}{HB}$，证得△FBE∽△CBH，得到∠BHC=∠BEF，推出FE⊥CH，根据三角形的中位线的性质即可得到结论；
方法二，连接AD，AN，CD，EN，利用所给条件证明AD和AN所在的三角形全等，进而得到AD=AN，那么利用等腰三角形的三线合一性质得到所求；
（2）利用△ADM为等腰直角三角形作答即可．

解答 （1）证明：方法一，如图1，延长CA至F点，使得AB=AC=AF，连接BF，
∴△FBC为直角三角形，∠FBC=90°，
延长ED至H点，使得DB=DE=DH，连接BH，BE，
∴△HBE为直角三角形，∠HBE=90°，
∵∠BDE=∠BHE+∠HBD=2α，∠FCB=∠ABC=∠BHE=α，
∴△FBC∽△HBE，
∴$\frac{FB}{CB}=\frac{EB}{HB}$，
∴$\frac{FB}{BE}=\frac{CB}{HB}$，
∵∠FBE=∠CBH
∴△FBE∽△CBH，
∴∠BHC=∠BEF，
∵∠BPH=∠QPE，
∠PQE=∠HBP=90°，
∴FE⊥CH，
∵M，A，D分别是CE，FC，EH的中点，
∴FE∥AM，CH∥DM，
∴AM⊥DM；
方法二，如图2，连接AD，AN，CD，EN，
∵DM=MN，CM=ME，
∴四边形DENC是平行四边形，
∴CN∥DE，CN=DE，
∴∠E=∠NCM，
∵DB=DE，
∴BD=CN，
∵∠CBD+∠BDE+∠E+∠BCE=360°，
∠ACB+∠BCE+∠NCE+∠ACN=360°，
∴∠CBD+∠BDE=∠ACB+∠ACN
∵AB=AC，∠ABC=α，
∴∠ABC=∠ACB=α，
∵∠BDE=2α，
∴∠CBD+2α=α+∠ACN，
∴∠CBD+α=∠ACN．
∵∠ABC=α，
∴∠ABD=∠ACN，
在△ABD和△ACN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABD=∠ACN}\\{BD=CN}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACN（SAS），
∴AD=AN，
∴AM⊥DM；

（2）解：△ADM为等腰直角三角形，
如果AM=DM，则∠ADM=45°，∠AMD=90°．
∵∠DAC+∠CAN=90°，∠CAN=∠BAD，
∴∠BAD+∠DAC=∠BAC=90°，
∴△ABC为等腰RT△．
∴α=45°．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四边形的内角和，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．