Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．

（1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？

（2）设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM＝S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；

（4）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）当t＝时，四边形PQCM是平行四边形；（2）y＝t2﹣8t+40；（3）不存在；详见解析；（4）t＝s时，点M在线段PC的垂直平分线上．

【解析】

（1）假设PQCM为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边平行，进而得到AP=AM，列出关于t的方程，求出方程的解得到满足题意t的值；

（2）根据PQ∥AC，利用相似三角形的性质可得三角形BPQ也为等腰三角形，即BP=PQ=t，用含t的代数式就可以表示出BF，进而得到梯形的高DF= 又点M的运动速度和时间可知点M走过的路程AM=2t，所以梯形的下底CM=10-2t．最后根据梯形的面积公式即可得到y与t的关系式；

（3）根据三角形的面积公式，先求出三角形ABC的面积，又根据S四边形PQCM＝S△ABC，求出四边形PQCM的面积，从而得到了y的值，代入第二问求出的y与t的解析式中求出t的值即可；

（4）假设存在，则根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可得到MP=MC，过点M作MH垂直AB，由一对公共角的相等和一对直角的相等即可得到△AHM∽△ADB，由相似得到对应边成比例进而用含t的代数式表示出AH和HM的长，再由AP的长减AH的长表示出PH的长，从而在直角三角形PHM中根据勾股定理表示出MP的平方，再由AC的长减AM的长表示出MC的平方，根据两者的相等列出关于t的方程进而求出t的值．

解：（1）假设四边形PQCM是平行四边形，则PM∥QC，

∴AP：AB＝AM：AC，

∵AB＝AC，

∴AP＝AM，即10﹣t＝2t，

解得：

∴当时，四边形PQCM是平行四边形；

（2）∵PQ∥AC，

∴△PBQ∽△ABC，

∴△PBQ为等腰三角形，PQ＝PB＝t，

∴ 即

解得：

∴FD＝BD﹣BF＝8﹣，

又∵MC＝AC﹣AM＝10﹣2t，

∴y＝（PQ+MC）FD＝

（3）不存在；

∵S△ABC＝

当S四边形PQCM＝S△ABC时，y＝

解得：t＝0，或t＝20，都不合题意，因此不存在；

（4）假设存在某一时刻t，使得M在线段PC的垂直平分线上，则MP＝MC，

过M作MH⊥AB，交AB与H，如图所示：

∵∠A＝∠A，∠AHM＝∠ADB＝90°，

∴△AHM∽△ADB，

∴

又∵AD＝

∴

∴

∴HP＝10﹣t﹣＝10﹣

在Rt△HMP中，

又∵MC2＝＝100﹣40t+4t2，

∵MP2＝MC2，

∴

解得（舍去），

∴时，点M在线段PC的垂直平分线上．