Question

【题目】（1）发现：如图①，点A为一动点，点B和点C为两个定点，且，（）．

填空：当点位于_______时，线段的长取得最小值，且最小值为_______（用含的式子表示）；

（2）如图②应用：点为线段外一动点，且，，如图2分别以、为边作等边三角形和等边三角形，连接、．

①请找出图中与相等的线段，并说明理由；

②直接写出线段长的最小值．

（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为线段OB外一动点，且，，，请求出的最小值并直接写出点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）线段BC上， ；（2）①，理由见解析；②；（3）

【解析】

（1）直接根据三角形三边关系即可得出答案；

（2）①首先根据等边三角形的性质得出，然后由全等三角形的性质即可得出答案；

②线段BE长度的最小值=线段CD长度的最小值，当点D在BC边上时，CD最小，即可求出答案；

（3）在y轴上取点，连接，在点P所在的圆O上取一点 ，连接，依题意作，使，连接 ，首先利用相似三角形的性质得出点M在以为圆心的圆上运动， ，从而可求出OM的最小值，此时M在y轴上，通过全等三角形的性质得出，然后设，建立方程组即可求出此时P点的坐标．

（1），，，

∴当点A位于线段BC上时，线段AC的长取得最小值，且最小值为；

（2）①，理由如下：

∵都是等边三角形，

∴ ，

，

即．

在和中，

，

；

②当点D在BC边上时，CD最小，此时 ，

∵，

∴线段长的最小值为 ；

（3）在y轴上取点，连接，在点P所在的圆O上取一点 ，连接，依题意作，使，连接 ，

,

，

，，

∴ ，

，

．

同理，，

．

，

，

∴点M在以为圆心的圆上运动， ，

∴OM的最小值为 ．

如图，此时M点在y轴上，设此时P点为，过点作轴于点E，延长 ，过点B作于点F，

∵ ，

．

，

．

在和中，

，

．

设，

解得

∴此时P的坐标为 ．