Question

如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠A=60°，CD是角平分线，在CB上截取CF=CA．
（1）求证：DF=BF；
（2）若AE=BF，求∠CFE的度数．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）证明△ACD≌△FCD，得∠CDF=∠ADC=75°，AD=DF，再结合条件可求得∠BDF=30°=∠B可得出结论；
（2）结合（1）可证得△ADE为等边三角形，再结合条件可证明△EDF为等腰直角三角形，可求得∠CFE．

解答：（1）证明：
∵∠A=60°，∠ACD=45°，
∴∠ADC=75°，
在△ACD和△FCD中

AC=CF ∠ACD=∠DCF CD=CD

∴△ACD≌△FCD（SAS），
∴∠CDF=∠ADC=75°，AD=DF，
∴∠BDF=30°=∠B，
∴DF=BF；
（2）解：
∵AE=BF=DF=AD，∠A=60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴∠ADE=60°，
∴∠EDF=180°-60°-30°=90°，∠CDE=75°-60°=15°，
∵ED=AD=DF，
∴△EDF为等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠FCD=45°，
∴∠CFE=∠CDE=15°．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质，充分利用条件找到可能全等的三角形是解题的关键．