Question

已知AC=BC，∠ACB=90°，∠DCB=15°，BD=CD，CE⊥AD于点E，求证：BC=2CE．

Answer 1

考点：角平分线的性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：以DC为边在△ACD内作等边三角形DCM，先证得△ACM≌△BCD得出∠MAC=∠DBC=15°，进而得出∠AMD=∠AMC，从而证得△ACM≌△ADM，证得∠MAD=∠MAC=15°，得出∠CAD=2∠MAC=30°，根据含30°的直角三角形的性质得出AC=2CE，即可得出BC=2CE．

解答：证明：以DC为边在△ACD内作等边三角形DCM
∴∠DCM=∠CMD=∠CDM=60°；CD=DM=CM
又BD=CD；∠DCB=15°
∴∠CBD=∠DCB=15°
∵AC=BC；∠ACB=90°
∴∠ACM=90°-∠BCD-∠DCM=15°=∠BCD，
在△ACM和△BCD中，

DC=CM ∠BCD=∠ACM BC=AC

，
∴△ACM≌△BCD（SAS）
∴∠MAC=∠DBC=15°
∴∠AMC=180°-∠ACM-∠CAM=150°
∴∠AMD=360°-∠AMC-∠CMD=150°=∠AMC，
在△ACM和△ADM中，

DM=CM ∠AMD=∠AMC AM=AM

，
∴△ACM≌△ADM（SAS），
∴∠MAD=∠MAC=15°，
∴∠CAD=2∠MAC=30°，
又CE⊥AE，
∴AC=2CE，
∴BC=2CE．

点评：本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，含30°的直角三角形的性质等，熟练掌握性质是关键．