Question

8．如图，△ABC、△OMN均为等边三角形，且O点为BC的中点，△OMN绕着点O旋转，ON、OM分别交BA（BA的延长线），CA（CA的延长线）于D、E两点．
（1）设OB=OC=1，BD=y，CE=x，求y关于x的函数关系式；（不要求写x的取值范围）
（2）在上题中，连结DE，设DE=m，△ODE的面积为s，求s关于m的函数关系式．（不要求写m的取值范围）．

Answer 1

分析 （1）只要证明△BOD∽△COE，列出有关比例式子即可．
（2）只要证明△DOE∽△OCE得∠DEO=∠OEC，作OH⊥EC于H，OK⊥DE于K，求出高OK即可解决问题．

解答 解：（1）∵△ABC、△OMN均为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，∠DOE=60°，
∴∠BDO+∠BOD=∠BOD+∠EOC=120°，
∴∠BDO=∠EOC，
∴△BOD∽△COE
∴$\frac{BD}{OC}=\frac{BO}{CE}$，
即$\frac{y}{1}=\frac{1}{x}$，
∴y=$\frac{1}{x}$；
（2）∵△BOD∽△COE，
∴$\frac{DO}{OE}=\frac{BO}{EC}$，
∵BO=CO，
∴$\frac{DO}{CO}=\frac{OE}{EC}$，
∵∠DOE=∠C=60°，
∴△DOE∽△OCE，
∴∠DEO=∠OEC，
作OH⊥EC于H，OK⊥DE于K，
∴OH=OK=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴s=$\frac{1}{2}$•m$•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$m．

点评 本题考查等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是利用相似解决问题，属于中考常考题型．