Question

如图1，P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连PQ交AC边于D．
（1）证明：PD=DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB=2，求DE的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）利用平行线的性质结合全等三角形的判定与性质得出即可；
（2）过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=

1

2

AC即可．

解答： （1）证明：如图1，过点P作PF∥BC交AC于点F；
∵PF∥BC，
∴△APF∽△ABC，
∵△ABC是等边三角形，
∴△APF也是等边三角形，
∴∠APF=∠BCA=60°，AP=PF=AF=CQ，
∴∠FDP=∠DCQ，∠FDP=∠CDQ，
在△PDF和△QDC中，
∵

∠PDF=∠QDC ∠DFP=∠QCD PF=QC

，
∴△PDF≌△QDC（AAS），
∴PD=DQ；

（2）解：如图2，过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
∵在△PFD和△QCD中，

∠PFD=∠QCD ∠PDF=∠QCD PF=QC

，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE=

1

2

AC，
∵AC=2，
∴DE=1．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．