Question

14．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．若AB=4，AD=5，tan∠DFE=$\frac{3}{4}$，求sin∠FBE的值．

Answer 1

分析 根据四边形ABCD是矩形，折叠的性质，得到∠BFE=∠C=90°，BF=BC=5，利用勾股定理，在Rt△ABF中求得AF=3，则DF=AD-AF=5-3=2，利用三角函数在Rt△FDE中，tan∠DFE=$\frac{DE}{DF}$=$\frac{3}{4}$，求得DE=$\frac{3}{2}$，利用勾股定理，求得EF=$\frac{5}{2}$，BE=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，利用三角形函数即可解答．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠C=90°，AD=BC=5，
∵△BCE沿BE折叠为△BFE，
∴∠BFE=∠C=90°，BF=BC=5，
在Rt△ABF中，AF=$\sqrt{B{F}^{2}-A{B}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴DF=AD-AF=5-3=2，
在Rt△FDE中，tan∠DFE=$\frac{DE}{DF}$=$\frac{3}{4}$，
即$\frac{DE}{2}=\frac{3}{4}$
∴DE=$\frac{3}{2}$，
在Rt△FDE中，EF=$\sqrt{D{F}^{2}+D{E}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}+（\frac{3}{2}}）^{2}$=$\frac{5}{2}$，
在Rt△BFE中，BE=$\sqrt{B{F}^{2}+E{F}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}+（\frac{5}{2}}）^{2}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$．
∴sin∠FBE=$\frac{EF}{BE}$=$\frac{\frac{5}{2}}{\frac{5\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与转化思想的应用．