Question

【题目】如图，已知抛物线y= （x+2）（x﹣4）与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D，M为抛物线的顶点．

（1）求点A，B，C的坐标；
（2）设动点N（﹣2，n），求使MN+BN的值最小时n的值；
（3）P是抛物线上一点，请你探究：是否存在点P，使以P，A，B为顶点的三角形与△ABD相似（△PAB与△ABD不重合）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：令y=0得x1=﹣2，x2=4，

∴点A（﹣2，0）、B（4，0）

令x=0得y=﹣ ，

∴点C（0，﹣ ）

（2）解：将x=1代入抛物线的解析式得y=﹣

∴点M的坐标为（1，﹣ ）

∴点M关于直线x=﹣2的对称点M′的坐标为（﹣5， ）

设直线M′B的解析式为y=kx+b

将点M′、B的坐标代入得：

解得：

所以直线M′B的解析式为y= ．

将x=﹣2代入得：y=﹣ ，

所以n=﹣ ．

（3）解：过点D作DE⊥BA，垂足为E．

由勾股定理得：

AD= =3 ，

BD= ，

如下图，①当P1AB∽△ADB时，

即：

∴P1B=6

过点P1作P1M1⊥AB，垂足为M1．

∴ 即：

解得：P1M1=6 ，

∵ 即：

解得：BM1=12

∴点P1的坐标为（﹣8，6 ）

∵点P1不在抛物线上，所以此种情况不存在；

②当△P2AB∽△BDA时， 即：

∴P2B=6

过点P2作P2M2⊥AB，垂足为M2．

∴ ，即：

∴P2M2=2

∵ ，即：

∴M2B=8

∴点P2的坐标为（﹣4，2 ）

将x=﹣4代入抛物线的解析式得：y=2 ，

∴点P2在抛物线上．

由抛物线的对称性可知：点P2与点P4关于直线x=1对称，

∴P4的坐标为（6，2 ），

当点P3位于点C处时，两三角形全等，所以点P3的坐标为（0，﹣ ），

综上所述点P的坐标为：（﹣4，2 ）或（6，2 ）或（0，﹣ ）时，以P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似

【解析】（1）令y=0可求得点A、B的横坐标，令x=0可求得C点的横坐标；（2）根据两点之间线段最短作M点关于直线X=-2的对称点M′，当点N在直线M′B上时MN+BN的值最小；（3）需要分类讨论;①当P1AB∽△ADB时，当△P2AB∽△BDA时根据相似三角形的性质求得PB的长度，然后求出P点的坐标。
【考点精析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题和相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握已知起点结点，求最短路径；与确定起点相反，已知终点结点，求最短路径；已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；求图中所有最短路径；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．