Question

15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，DF∥AB，求证：AD⊥EF．

Answer 1

分析 首先利用平行四边形的判定方法可知四边形AEDF是平行四边形，并由DE∥AC利用平行线的性质得到∠DAF=∠ADE，进而得到∠EAD=∠ADE，然后利用等腰三角形的判定可得EA=ED，可知四边形AEDF是菱形，再根据菱形的对角线互相垂直的性质可得结论．

解答 证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵DE∥AC，
∴∠DAF=∠ADE，
又∵AD平分∠BAC，即∠EAD=∠DAF，
∴∠EAD=∠ADE，
∴EA=ED，
∴平行四边形AEDF是菱形，
∴AD⊥EF．

点评 本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，正确识图并通过推理得出四边形AEDF是菱形是解题的关键．