Question

6．阅读下列材料：
方程$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{x-2}$-$\frac{1}{x-3}$的解为x=1，
方程$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x-1}$=$\frac{1}{x-3}$-$\frac{1}{x-4}$的解为x=2，
方程$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x-2}$=$\frac{1}{x-4}$-$\frac{1}{x-5}$的解为x=3．
（1）探究：观察前面方程的解的特征，写出解为x=8的方程；
（2）归纳：观察前面方程的解的特征，写出解为x=n（n为正整数）的方程．

Answer 1

分析 （1）根据观察发现规律：方程的解是方程的最简公分母为零时x值的平均数，可得答案；
（2）根据规律，可得方程．

解答 解：（1）∵方程$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{x-2}$-$\frac{1}{x-3}$的解为x=1，
方程$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x-1}$=$\frac{1}{x-3}$-$\frac{1}{x-4}$的解为x=2，
方程$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x-2}$=$\frac{1}{x-4}$-$\frac{1}{x-5}$的解为x=3．
…
∴$\frac{1}{x-n}$-$\frac{1}{x-（n+1）}$=$\frac{1}{x-（n+3）}$-$\frac{1}{x-（n+4）}$（n为整数）的解为x=n+2．
∴$\frac{1}{x-6}$-$\frac{1}{x-7}$=$\frac{1}{x-9}$-$\frac{1}{x-10}$的解为x=8；

（2）由（1）知，关于x的方程$\frac{1}{（n+1）-x}$-$\frac{1}{（n+2）-x}$=$\frac{1}{（n-2）-x}$-$\frac{1}{（n-1）-x}$的解是x=n（n为整数）．

点评 本题考查了分式方程的解，观察发现规律是解题关键．