Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(－5，0)和点B(1，0)．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)点P是抛物线上A，D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G．过点G作GF⊥x轴于点F．当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；

(3)如图2，连接AD，BD，点M在线段AB上(不与A，B重合)，作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样的点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2－x＋；D(－2，4)；（2）点P的横坐标为－；（3）存在，AN的长为1或．

【解析】

(1) 根据抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(－5，0)和点B(1，0)，用待定系数法即可得到答案；

(2)假设P的坐标为(m，－m2－m＋)，则可得到PE＝－m2－m＋，PG＝2(－2－m)＝－4－2m，再结合矩形周长，即可算出答案；

(3) 分三种情况MN=DM、NM=DN、DN=DM，分别讨论即可得到答案．

解：(1)抛物线的解析式为：y＝－ (x＋5)(x－1) ＝－x2－x＋．

配方得：y＝－(x＋2)2＋4 ，

∴顶点D的坐标为(－2，4)．

(2)设点P的坐标为(m，－m2－m＋)，

则PE＝－m2－m＋，PG＝2(－2－m)＝－4－2m．

∴矩形PEFG的周长＝2(PE＋PG)＝2(－m2－m＋－4－2m)

＝－(m＋)2＋,

∵－＜0，

∴当m＝－时，矩形PEFG的周长最大，此时，点P的横坐标为－．

(3)存在．∵AD＝BD，

∴∠DAB＝∠DBA．

∵∠AMN＋∠DMN＝∠MDB＋∠DBA，

又∵∠DMN＝∠DBA，

∴∠AMN＝∠MDB，

∴△AMN∽△BDM，

∴＝＝,

易求得：AB＝6，AD＝DB＝5．

△DMN为等腰三角形有三种可能：

①当MN＝DM时，则△AMN≌△BDM，

∴AM＝BD＝5，

∴AN＝MB＝1；

②当DN＝MN时，则∠ADM＝∠DMN＝∠DBA，

又∵∠DAM＝∠BAD，

∴△DAM∽△BAD，

∴＝，

∴AD2＝AM·BA．

∴AM＝，BM＝6－＝，

∵＝，

∴AN＝＝××＝．

③DN＝DM不成立．

∵∠DNM＞∠DAB， 而∠DAB＝∠DMN，

∴∠DNM＞∠DMN，

∴DN≠DM．

综上所述，存在点M满足要求，此时AN的长为1或．