【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的边AB=4,BC=6.若不改变矩形ABCD的形状和大小,当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时,矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动.
(1)当∠OAD=30°时,求点C的坐标;
(2)设AD的中点为M,连接OM、MC,当四边形OMCD的面积为时,求OA的长;
(3)当点A移动到某一位置时,点C到点O的距离有最大值,请直接写出最大值,并求此时cos∠OAD的值.
【答案】(1)点C的坐标为(2,3+2);(2)OA=3;(3)OC的最大值为8,cos∠OAD=.
【解析】
(1)作CE⊥y轴,先证∠CDE=∠OAD=30°得CE=CD=2,DE=,再由∠OAD=30°知OD=AD=3,从而得出点C坐标;
(2)先求出S△DCM=6,结合S四边形OMCD=知S△ODM=,S△OAD=9,设OA=x、OD=y,据此知x2+y2=36,xy=9,得出x2+y2=2xy,即x=y,代入x2+y2=36求得x的值,从而得出答案;
(3)由M为AD的中点,知OM=3,CM=5,由OC≤OM+CM=8知当O、M、C三点在同一直线时,OC有最大值8,连接OC,则此时OC与AD的交点为M,ON⊥AD,证△CMD∽△OMN得,据此求得MN=,ON=,AN=AM﹣MN=,再由OA=及cos∠OAD=可得答案.
(1)如图1,过点C作CE⊥y轴于点E,
∵矩形ABCD中,CD⊥AD,
∴∠CDE+∠ADO=90°,
又∵∠OAD+∠ADO=90°,
∴∠CDE=∠OAD=30°,
∴在Rt△CED中,CE=CD=2,DE==2,
在Rt△OAD中,∠OAD=30°,
∴OD=AD=3,
∴点C的坐标为(2,3+2);
(2)∵M为AD的中点,
∴DM=3,S△DCM=6,
又S四边形OMCD=,
∴S△ODM=,
∴S△OAD=9,
设OA=x、OD=y,则x2+y2=36,xy=9,
∴x2+y2=2xy,即x=y,
将x=y代入x2+y2=36得x2=18,
解得x=3(负值舍去),
∴OA=3;
(3)OC的最大值为8,
如图2,M为AD的中点,
∴OM=3,CM==5,
∴OC≤OM+CM=8,
当O、M、C三点在同一直线时,OC有最大值8,
连接OC,则此时OC与AD的交点为M,过点O作ON⊥AD,垂足为N,
∵∠CDM=∠ONM=90°,∠CMD=∠OMN,
∴△CMD∽△OMN,
∴,即,
解得MN=,ON=,
∴AN=AM﹣MN=,
在Rt△OAN中,OA=,
∴cos∠OAD=.
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【题目】如图,某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度.已知小亮站着测量,眼睛与地面的距离(AB)是1.6米,看旗杆顶部E的仰角为30°;小敏蹲着测量,眼睛与地面的距离(CD)是0.6米,看旗杆顶部E的仰角为45°.两人相距5米且位于旗杆同侧(点B、D、F在同一直线上).求旗杆EF的高度.(结果保留根号)
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=12,E为AD中点,F为AB上一点,将△AEF沿EF折叠后,点A恰好落到CF上的点G处,则折痕EF的长是_____.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-5,0)和点B(1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)点P是抛物线上A,D之间的一点,过点P作PE⊥x轴于点E,PG⊥y轴,交抛物线于点G.过点G作GF⊥x轴于点F.当矩形PEFG的周长最大时,求点P的横坐标;
(3)如图2,连接AD,BD,点M在线段AB上(不与A,B重合),作∠DMN=∠DBA,MN交线段AD于点N,是否存在这样的点M,使得△DMN为等腰三角形?若存在,求出AN的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】(12分)如图1,点O是正方形ABCD两对角线的交点,分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG,连接AG,DE.
(1)求证:DE⊥AG;
(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′,如图2.
①在旋转过程中,当∠OAG′是直角时,求α的度数;
②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求AF′长的最大值和此时α的度数,直接写出结果不必说明理由.
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【题目】求二次函数的图象如图所示,其对称轴为直线,与轴的交点为、,其中,有下列结论:①;②;③;④;⑤;其中,正确的结论有( )
A.5B.4C.3D.2
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,在以AB的中点O为坐标原点,AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中,将△ABC绕点B顺时针旋转,使点A旋转至y轴的正半轴上的点A'处,若AO=OB=2,则图中阴影部分面积为_____.
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【题目】如图,已知AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,BG与⊙O相切于点B,交AC的延长线于点D(点D在线段BG上),AC = 8,tan∠BDC =
(1)求⊙O的直径;
(2)当DG=时,过G作,交BA的延长线于点E,说明EG与⊙O相切.
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