Question

【题目】如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O 上一点，AB是⊙O的切线，连接BP并延长，交直线l于点C．

（1）求证AB＝AC；

（2）若PC＝，OA＝15，求⊙O的半径的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接OB，求切线性质得OB⊥AB，可得∠OBP+∠ABP=90°，有等边对等角得∠OBP=∠OPB，由对顶角及等量代换得到∠OBP=∠OPC，再由OA⊥直线l，得到∠APC+∠ACP=90°，从而∠ABP=∠ACP，由等角对等边即可得AB=AC；

（2）延长AO交⊙O于D，连接BD，设⊙O半径为R，则AP=15-R，OB=R，根据勾股定理得出方程152-R2=（6）2-（15-R）2，求出R即可．求出AC=AB=4，△DBP∽△CAP，得出，代入求出BP即可．

（1）连接OB，

∴OB⊥AB，

∴∠OBP+∠ABP=90°，

∵OB=OP，

∴∠OBP=∠OPB，

∴∠OBP=∠OPC，

∵OA⊥直线l，

∴∠PAC=90°，

∴∠APC+∠ACP=90°，

∴∠ABP=∠ACP，

∴AB=AC；

（2）延长AO交⊙O于D，连接BD，

设⊙O半径为R，则AP=15-R，OB=R，

在Rt△OBA中，AB2=152-R2，

在Rt△APC中，AC2=（）2-（15-R）2，

∵AB=AC，

∴152-R2=（）2-（15-R）2，

解得：R=9，

即⊙O半径为9，

则AC=AB=12，

∵PD为直径，OA⊥直线l，

∴∠DBP=∠PAC，

∵∠APC=∠BPD，

∴△DBP∽△CAP，

∴，

∴，

∴PB=．