Question

4．如图，在△ABC中，三角形内角平分线AD，BE，CF相交于点I，IH⊥BC于点H，求证：∠BID=∠HIC．

Answer 1

分析 根据角平分线的定义、三角形内角和定理可知∠BAD+∠ABI+∠HCI=90°．又因为∠BAD+∠ABI=∠BID，90°-∠HCI=∠CIH，所以∠BID=∠CIH．

解答 证明：∵AD，BE，CF为三角形ABC的角平分线，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠ABI=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠HCI=$\frac{1}{2}$∠ACB．
∴∠BAD+∠ABI+∠HCI=$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×180°=90°．
∴∠BAD+∠ABI=90°-∠HCI．
又∵∠BAD+∠ABI=∠BID，90°-∠HCI=∠CIH
2（∠BAD+∠ABI+∠HCI）=180°，
∴∠BAD+∠ABI+∠HCI=90°，
∴∠BID=∠CIH．

点评 本题考查了角平分线的定义及三角形内角和定理，掌握三角形三个内角的和为180°是解决问题的关键．