Question

4．在平面直角坐标系中，直线y=kx+b经过两点D（0，4），E（4，0），边长为2个单位长度的等边△ABC，顶点A在该直线上滑动，在滑动过程中始终保持边BC∥x轴，且顶点A在BC的上方．
（1）求直线DE的函数解析式；
（2）在滑动过程中，当点C恰好落在坐标轴上时，求此时点B的坐标；
（3）在滑动过程中，当△ABC与△DOE重叠部分的面积为△ABC面积的$\frac{1}{8}$时，求此时点A到坐标轴的最大距离．

Answer 1

分析 （1）题目已知D、E两点坐标，利用待定系数法求出解析式即可．
（2）过点A作AD⊥BC于点D，根据等边三角形的性质求出AD及CD的长，设A（x，-x+4），由AD及CD的长可用x表示出C的坐标，再根据点C在坐标轴上求出x的值即可．
（3）△ABC与△DOE重叠部分的面积为△ABC面积的$\frac{1}{8}$时，分为两种情况，见解答图形，两种情况都通过三角形相似，第一种情况点A应该到x轴距离最大，第二种情况，点A到y轴距离最大，分别求出两个距离，作比较选较大的距离即可．

解答 解：（1）将点D（0，4），E（4，0）带入直线y=kx+b，
得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{0=4k+b}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=4．
故直线DE的函数解析式为：y=-x+4

（2）过点A作AD′⊥BC于点D′，

∵等边△ABC的边长为2，
∴CD′=1，AD′=$\sqrt{3}$．
设A（x，-x+4），则C（x+1，-x+4-$\sqrt{3}$），
∴当点C在y轴上时，x+1=0，即x=-1，
∴C（0，5-$\sqrt{3}$），
∴B（-2，5-$\sqrt{3}$）；
当点C在x轴上时，-x+4-$\sqrt{3}$=0，解得x=4-$\sqrt{3}$，
∴C（4-$\sqrt{3}$，0），
∴B（2-$\sqrt{3}$，0）．
故B点坐标为（-2，5-$\sqrt{3}$）或（2-$\sqrt{3}$，0）．

（3）当△ABC与△DOE重叠部分靠近y轴时，
设AC边与y轴交于点M，BC边交y轴于点N，
∵MN∥AD′，
∴△CMN∽△CAD′，
∵△CMN的面积为△ABC面积的$\frac{1}{8}$，
∴△CMN的面积为△CD′A面积的$\frac{1}{4}$，
∴CN：CD′=1：2，
∴CN=D′N=$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$，
∴D′点横坐标为-$\frac{1}{2}$，A点横坐标为-$\frac{1}{2}$．
将x=-$\frac{1}{2}$带入直线DE得y=$\frac{9}{2}$，
∴此时，点A到坐标轴的最大距离为$\frac{9}{2}$．①
当△ABC与△DOE重叠部分靠近x轴时，
设AC边与x轴交于点Q，AB边交X轴于点P，
∵PE∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∵△APQ的面积为△ABC面积的$\frac{1}{8}$，
$\frac{AZ}{AD}$=$\frac{1}{\sqrt{8}}$，
AZ=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴点A的纵坐标为$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
将y=$\frac{\sqrt{6}}{4}$代入直线DE得x=4-$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴此时，点A到坐标轴的最大距离为4-$\frac{\sqrt{6}}{4}$．②
综合①、②得点A到坐标轴的最大距离为$\frac{9}{2}$．
答：点A到坐标轴的最大距离为$\frac{9}{2}$．

点评 本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定和性质以及一次函数的综合应用，要注意的是（2）中，要根据B点的不同位置进行分类求解，（3）中根据△ABC与△DOE重叠部分的不同位置进行分类求解．