Question

14．探索研究：
（1）比较下列各式的大小 （用“＜”或“＞”或“=”连接）
①|-2|+|3|＞|-2+3|；
②$|{-\frac{1}{2}}|$+$|{-\frac{1}{3}}|$=$|{-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}|$；
③|6|+|-3|＞|6-3|．
④|0|+|-8|=|0-8|
（2）通过以上比较，请你分析、归纳出当a、b为有理数时，|a|+|b|与|a+b|的大小关系．（直接写出结论即可）
（3）根据（2）中得出的结论，当|x|+2015=|x-2015|时，则x的取值范围是x≤0．
如|a₁+a₂|+|a₃+a₄|=15，|a₁+a₂+a₃+a₄|=5，则a₁+a₂=10或-10或5或-5．

Answer 1

分析 （1）①利用绝对值的性质去绝对值，进而比较大小；
②利用绝对值的性质去绝对值，进而比较大小；
③利用绝对值的性质去绝对值，进而比较大小；
④利用绝对值的性质去绝对值，进而比较大小；
（2）根据绝对值的性质结合，当a，b异号时，当a，b同号时分析得出答案；
（3）利用（2）中结论进而分析得出答案．

解答 解：（1）①∵|-2|+|3|=5，|-2+3|=1，
∴|-2|+|3|＞|-2+3|；
②∵$|{-\frac{1}{2}}|$+$|{-\frac{1}{3}}|$=$\frac{5}{6}$，$|{-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}|$=$\frac{5}{6}$，
∴$|{-\frac{1}{2}}|$+$|{-\frac{1}{3}}|$=$|{-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}|$；
③∵|6|+|-3|=9，|6-3|=3，
∴|6|+|-3|＞|6-3|；
④∵|0|+|-8|=8，|0-8|=8，
∴|0|+|-8|=|0-8|；

（2）当a，b异号时，|a|+|b|＞|a+b|，
当a，b同号时，|a|+|b|=|a+b|，
∴|a|+|b|≥|a+b|；

（3）由（2）中得出的结论可知，x与-2015同号，
当|x|+2015=|x-2015|时，则x的取值范围是：x≤0．
当|a₁+a₂|+|a₃+a₄|=15，|a₁+a₂+a₃+a₄|=5，
可得a₁+a₂和a₃+a₄异号，
则a₁+a₂=10或-10或5或-5．
故答案为：x≤0；10或-10或5或-5．

点评 此题主要考查了绝对值，根据题意得出a，b直接符号的关系是解题关键．