Question

【题目】已知△ABC中，AB=AC，点D，E分别在直线AB，BC上，且∠DEC=∠DCE.

(1)如图①,若点D在线段AB的延长线上,∠A=60°，求证：EB=AD；

(2)如图②,若点D在线段AB上,∠A=90°,求证：EB= AD；

(3)在(2)的条件下，若CD平分∠ACB，P是线段CD上任意一点，点Q，P关于BC对称，且BE=2，请直接写出△BPQ周长的最小值。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4+2

【解析】

（1）过D点作BC的平行线交AC的延长线于点F．可得等边三角形△ADF，再证明△DBE≌△CFD．可得BE=DF=AD；

（2）过D点作BC的平行线交AC于点G，只要证明△DBE≌△CGD即可解决问题；

（3）如图③中，作PE⊥AC于E．只要证明△PBQ的周长=PB+BQ+PQ=2（PB+PH），由∠PCH=∠PCF，PH⊥CH，PE⊥CE，推出PH=PE，推出PB+PH=PB+PE，根据垂线段最短可知：当P与D重合，E与A重合时，PB+PE的值最小；

(1)证明：过D点作BC的平行线交AC的延长线于点F.

∵△ABC是等腰三角形,∠A=60°，

∴△ABC是等边三角形.∴∠ABC=60°，

∵DF∥BC，

∴∠ADF=∠ABC=60°，

∴△ADF是等边三角形。

∴AD=DF,∠AFD=60°，

∵∠DBE=∠ABC=60°，

∴∠DBE=∠AFD.

∵∠FDC=∠DCE，∠DCE=∠DEC，

∴∠FDC=∠DEC，ED=CD.

∴△DBE≌△CFD.

∴BE=DF，∴BE=AD.

(2)证明：过D点作BC的平行线交AC于点G，

∵△ABC是等腰三角形,∠A=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠DBE=180°45°=135°，

∵DG∥BC，∴∠GDC=∠DCE，

∠DGC=180°45°=135°，

∴∠DBE=∠DGC，

∵∠DCE=∠DEC，

∴ED=CD，∠DEC=∠GDC，

∴△DBE≌△CGD，

∴BE=GD，

∵∠ADG=∠ABC=45°,∠A=90°，

∴△ADG是等腰直角三角形。

∴DG=AD，

∴BE=AD.

(3)如图③中，作PE⊥AC于E.

∵P、Q关于BC对称，

∴PB=BQ，PH=QH，

∴△PBQ的周长=PB+BQ+PQ=2(PB+PH)，

∵∠PCH=∠PCF，PH⊥CH，PE⊥CE，

∴PH=PE，

∴PB+PH=PB+PE，

当P与D重合，E与A重合时，PB+PE的值最小，

∵BE=AD，BE=2，

∴AD=，

∵∠E=∠DCB=22.5°,∠ABC=∠E+∠BDE=45°，

∴∠E=∠BDE=22.5°，

∴BD=BE=2，

∴PB+PE的最小值为2+，

∴△PBQ的周长的最小值为4+2 .