【题目】如图1,已知抛物线y=(x+1)(x﹣3)(m为常数,且m>0)经过点c(0,﹣
),与x轴交于点A、B(点A位于点B的左侧).
(1)请直接写出m的值及点A、点B的坐标;
(2)请你探究:在直线BC上是否存在点P,使以P、A、B为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,请求出AP的长;若不存在,说明理由.
(3)如图2,点D(2,﹣),连接AD,抛物线上是否存在点Q,使∠BAQ=2∠BAD,若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)m=,A(﹣1,0),B(3,0);(2)存在,AP的长为2或
;(3)存在,点Q的坐标为(0,﹣
)或(6,7
).
【解析】
(1)将点C的坐标代入解析式y=(x+1)(x﹣3)即可求出m的值,令y=0,即可求出A,B的横坐标;
(2)分情况讨论,当以点P为直角顶点时,证△ABC为直角三角形,且与△BOC相似,所以点P与点C重合;当以点A为直角顶点时,过点A作x轴的垂线,交BC于点P,由相似的性质求出AP的长度即可;当以点B为直角顶点时,不存在;
(3)分情况讨论,先求出∠BAD=30°,当点Q在x轴下方时,求出∠BAC=60°,则点Q与点C重合;当点Q在x轴上方时,作点C关于x轴的对称点E,直线AE与抛物线在x轴上方的交点即为点Q.
(1)将点C(0,﹣)代入y=
(x+1)(x﹣3),
得,m=,
∴抛物线解析式为:y=(x+1)(x﹣3)=
x2﹣
x﹣
,
当y=0时,x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0);
(2)存在点P,理由如下:
①在抛物线y=x2﹣
x﹣
中,
当x=0时,y=﹣,
∴C(0,﹣),OC=
,
∴AC2=AO2+CO2=4,BC2=BO2+CO2=12,
又∵AB2=42=16,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形,
∴∠ACB=∠COB=90°,
又∵∠OBC=∠CBA,
∴△BOC∽△BCA,
即点P与点C重合,
∴AP=AC= =2;
②过点A作AP⊥x轴,交直线BC于点P,
则AP∥OC,
∴△BAP∽△BOC,
∴,
∴,
∴AP=,
综上所述,AP的长为2或;
(3)存在点Q,理由如下:
如图2,过点D作DH⊥x轴于点H,
则H(2,0),
①当点Q在x轴下方时,
DH=,AH=3,
∴在Rt△AHD中,
tan∠BAD=,
∴∠BAD=30°,
在Rt△AOC中,
tan∠BAC==
,
∴∠BAC=60°,
∴∠BAC=2∠BAD,
∴点Q与点C重合,
∴Q1(0,﹣);
②当点Q在x轴上方时,
作点C关于x轴的对称点E(0,),
则∠EAB=∠CAB=60°=2∠BAD,
则直线AE与抛物线在x轴上方的交点即为点Q,
设直线AE的解析式为y=kx+,
将点A(﹣1,0)代入,得
k=,
∴yAE=x+
,
联立,得x+
=
x2﹣
x﹣
,
解得,x1=﹣1,x2=6,
∴Q2(6,7),
综上所述,点Q的坐标为(0,﹣)或(6,7
).
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于第二、四象限内的A,B两点,与x轴交于点C,与y轴交于点D,点B的坐标是(m,﹣4),连接AO,AO=5,sin∠AOC=
.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)连接OB,求△AOB的面积.
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【题目】为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备,每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价(单位:万元)成一次函数关系.
(1)求年销售量与销售单价
的函数关系式;
(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润.则该设备的销售单价应是多少万元?
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【题目】某几何体的三视图如图所示,已知在△EFG中,FG=18cm,EG=12cm,∠EGF=30°;在矩形ABCD中,AD=16cm.
(1)请根据三视图说明这个几何体的形状.
(2)请你求出AB的长;
(3)求出该几何体的体积.
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【题目】某公司研发了一款成本为50元的新型玩具,投放市场进行试销售.其销售单价不低于成本,按照物价部门规定,销售利润率不高于90%,市场调研发现,在一段时间内,每天销售数量y(个)与销售单价x(元)符合一次函数关系,如图所示:
(1)根据图象,直接写出y与x的函数关系式;
(2)该公司要想每天获得3000元的销售利润,销售单价应定为多少元
(3)销售单价为多少元时,每天获得的利润最大,最大利润是多少元?
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【题目】如图,将半径为3的圆形纸片,按顺序折叠两次,折叠后的弧AB和弧BC都经过圆心O.
(1)连接OA、OB,求证:∠AOB=120°;
(2)图中阴影部分的面积为 .
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