Question

【题目】如图1，已知抛物线y＝（x+1）（x﹣3）（m为常数，且m＞0）经过点c（0，﹣），与x轴交于点A、B（点A位于点B的左侧）．

（1）请直接写出m的值及点A、点B的坐标；

（2）请你探究：在直线BC上是否存在点P，使以P、A、B为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出AP的长；若不存在，说明理由．

（3）如图2，点D（2，﹣），连接AD，抛物线上是否存在点Q，使∠BAQ＝2∠BAD，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）m＝，A（﹣1，0），B（3，0）；（2）存在，AP的长为2或；（3）存在，点Q的坐标为（0，﹣）或（6，7）．

【解析】

（1）将点C的坐标代入解析式y＝（x+1）（x﹣3）即可求出m的值，令y＝0，即可求出A，B的横坐标；

（2）分情况讨论，当以点P为直角顶点时，证△ABC为直角三角形，且与△BOC相似，所以点P与点C重合；当以点A为直角顶点时，过点A作x轴的垂线，交BC于点P，由相似的性质求出AP的长度即可；当以点B为直角顶点时，不存在；

（3）分情况讨论，先求出∠BAD＝30°，当点Q在x轴下方时，求出∠BAC＝60°，则点Q与点C重合；当点Q在x轴上方时，作点C关于x轴的对称点E，直线AE与抛物线在x轴上方的交点即为点Q．

（1）将点C（0，﹣）代入y＝（x+1）（x﹣3），

得，m＝，

∴抛物线解析式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣x﹣，

当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）存在点P，理由如下：

①在抛物线y＝x2﹣x﹣中，

当x＝0时，y＝﹣，

∴C（0，﹣），OC＝，

∴AC2＝AO2+CO2＝4，BC2＝BO2+CO2＝12，

又∵AB2＝42＝16，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形，

∴∠ACB＝∠COB＝90°，

又∵∠OBC＝∠CBA，

∴△BOC∽△BCA，

即点P与点C重合，

∴AP＝AC＝ ＝2；

②过点A作AP⊥x轴，交直线BC于点P，

则AP∥OC，

∴△BAP∽△BOC，

∴，

∴，

∴AP＝，

综上所述，AP的长为2或；

（3）存在点Q，理由如下：

如图2，过点D作DH⊥x轴于点H，

则H（2，0），

①当点Q在x轴下方时，

DH＝，AH＝3，

∴在Rt△AHD中，

tan∠BAD＝，

∴∠BAD＝30°，

在Rt△AOC中，

tan∠BAC＝＝，

∴∠BAC＝60°，

∴∠BAC＝2∠BAD，

∴点Q与点C重合，

∴Q1（0，﹣）；

②当点Q在x轴上方时，

作点C关于x轴的对称点E（0，），

则∠EAB＝∠CAB＝60°＝2∠BAD，

则直线AE与抛物线在x轴上方的交点即为点Q，

设直线AE的解析式为y＝kx+，

将点A（﹣1，0）代入，得

k＝，

∴yAE＝x+，

联立，得x+＝x2﹣ x﹣，

解得，x1＝﹣1，x2＝6，

∴Q2（6，7），

综上所述，点Q的坐标为（0，﹣）或（6，7）．