Question

【题目】某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图为她们剌绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，研究发现第个图案中共有个；小正方形．(为整数，且)

（1）请写出第个图案中有____个小正方形；

（2）猜想第个图案和第个图案中小正方形个数之差为

（3）证明（2）中的猜想．

Answer 1

【答案】（1）41；（2）4n；（3）见解析．

【解析】

（1）首先观察给出的四个图，可以得出正方体的个数分别为，，，总结一般性的规律，将一般性数列转化为特殊的数列再求解．
（2）根据（1）得出的一般规律，可写出第个图案中正方形的个数，再与第个图案中正方形的个数做差即可得解．
（3）利用数列的求和公式可得第个图案中正方形的个数是：，利用此规律可写出第个图案中正方形的个数是，再让它们做差即可得证．

（1）∵第一个图案中正方形的个数是：

第二个图案中正方形的个数是：

第三个图案中正方形的个数是：

第四个图案中正方形的个数是：

第个图案中正方形的个数是：

∴第五个图案中正方形的个数是：

故答案是：

（2）∵由（1）可知第个图案中正方形的个数是：

第个图案中正方形的个数是：

∴第个图案和第个图案中小正方形个数之差为

∴第个图案和第个图案中小正方形个数之差为

故答案是：

（3）证明：根据题意，得第个图案中正方形的个数为

．

．

．

第个图案和第个图案中正方形个数之差为