Question

【题目】学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．

类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sad A=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．

根据上述对角的正对定义，解下列问题：

（1）求sad60°的值；

（2）对于0°＜A＜180°，求∠A的正对值sadA的取值范围．

（3）已知sinα=，其中α为锐角，试求sadα的值．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）0＜sadA＜2；（3） ．

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；
（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；
（3）作出直角△ABC，构造等腰三角形ACD，根据正对的定义解答．

（1）根据正对定义，

当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，

则三角形为等边三角形，

则sad60°= =1．

（2）当∠A接近0°时，sadα接近0，

当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．

于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．

（3）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A= ．

在AB上取点D，使AD=AC，

作DH⊥AC，H为垂足，

令BC=3k，AB=5k，

则AD=AC= =4k，

又∵在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A= ．

∴DH=AD sin∠A= k，AH= = k．

则在△CDH中，CH=AC﹣AH= k，CD= = k．

于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD= k．

由正对的定义可得：sadA= ，即sadα= ．