Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，函数y=-x+2的图象与x轴交与点A，与y轴交与点B，点P为直线AB上一动点，若△POA是等腰三角形，求所有符合条件的点P的坐标．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定,一次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：根据函数y=-x+2求得A、B的坐标，从而求得OA=2；①当OA=OP时，P在B点；②当AO=AP时，设P的坐标是（x，-x+2），根据勾股定理得出方程（x-2）²+（-x+2）²=2²，求出x即可；③当OP=AP时，作OA的垂直平分线交AB于P，此时AP=OP，求出P的横坐标x，代入y=-x+2求出y即可．

解答：解：y=-x+2，令y=0，得A（2，0），
令x=0，得B（0，2），
①当OA=OP时，P在B点，此时△POA是等腰三角形；
②当AO=AP时，过P作PH⊥OA于H，设P的坐标是（x，-x+2），
∵在△APH中，根据勾股定理得：PA²=PH²+AH²，
∵PH=-x+2，AH=2-x，
∴PA²=（-x+2）²+（2-x）²，OA²=2²，
∴（x-2）²+（-x+2）²=2²
解得：x=2±

2

，
当x=2+

2

时，-x+2=-

2

；
当x=2-

2

时，-x+2=

2

；
∴P（2+

2

，-

2

）或（2-

2

，

2

）；
③当OP=AP时，作OA的垂直平分线交AB于P，此时AP=OP，
且P的横坐标是

1

2

×2=1，
代入y=-x+2得：y=-1+2=1，
∴P（1，1）．
综合上述，P的坐标是（0，2）或（2+

2

，-

2

）或（2-

2

，

2

）或（1，1）．

点评：本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征等知识点的应用，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生观察图形的能力，用了分类讨论思想和方程思想．