Question

9．（1）已知x²-x-3=0，求$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{3}+{x}^{2}}$÷（x-$\frac{2x-1}{x}$）的值．
（2）如图，△ABC中，AB=AC，点E、F分别在AB、AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P．求证：PB=PC．

Answer 1

分析 （1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值；
（2）利用SAS得到三角形ACE与三角形ABF全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由AB=AC，利用等边对等边得到两个底角相等，利用等式性质得到∠PBC=∠PCB，利用等角对等边即可得证．

解答 解：（1）原式=$\frac{（x+1）（x-1）}{{x}^{2}（x+1）}$÷$\frac{{x}^{2}-2x+1}{x}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$•$\frac{x}{（x-1）^{2}}$=$\frac{1}{{x}^{2}-x}$，
由x²-x-3=0，得到x²-x=3，
则原式=$\frac{1}{3}$；
（2）在△AEC和△AFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠A=∠A}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△AFB（SAS），
∴∠ABF=∠ACE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠PBC=∠PCB，
则PB=PC．

点评 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．