Question

19．如图，A、B、C三点在同一直线上，以AB、BC为斜边分别作等腰直角三角形ABD和BCE，连接DE．若AC=4，则DE的取值范围是2≤DE$＜2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设AB=x，则BC=4-x，然后分别表示出DC、EC，继而在RT△DCE中，利用勾股定理求出DE长度的表达式，利用函数的知识进行解答即可．

解答 解：如图，连接DE．设AB=x，则BC=4-x，
∵△ACD和△BCE分别是等腰直角三角形，
∴∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=$\frac{\sqrt{2}}{2}x$，CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（4-x），
∴∠DCE=90°，DB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，$\frac{\sqrt{2}}{2}$（4-x）
故DE²=DC²+CE²=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$（4-x）²=x²-4x+8=（x-2）²+4，
当x=2时，DE²取得最小值，DE也取得最小值，最小值为2，
DE＜DB+BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（4-x）=2$\sqrt{2}$
所以DE的取值范围是2≤DE＜2$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是表示出DC、CE，得出DE的表达式，还要求我们掌握配方法求二次函数最值．