Question

如图，AB、BF分别是⊙O的直径和弦，弦CD与AB、BF分别相交于点E、G，过点F的切线HF与DC的延长线相交于点H，且AB⊥CD．
（1）求证：HF=HG；
（2）若sin∠HGF=

3

4

，BF=3，求⊙O的半径长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）连接AF，根据切线的性质求得∠BFH=∠FAB，根据直角三角形的性质首先求出∠BGE=∠FAB，进而得出∠BFH=∠FGH，根据等角对等边即可得出HF=HG；
（2）根据∠HGF=∠A，利用锐角三角函数得出AB即可得出半径．

解答：（1）证明：如图，连接AF，
∵HF是⊙O的切线，
∴∠BFH=∠FAB，
∵AB是直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠FAB+∠FBA=90°．
∵AB⊥CD．
∴∠BGE+∠FBA=90°，
∴∠BGE=∠FAB，
∵∠FGH=∠BGE，
∴∠BFH=∠FGH，
∴HF=HG；
（2）解：∵∠AFB=90°，∠HGF=∠FAB，
∴sin∠HGF=sin∠FAB=

BF

AB

=

3

4

，
∴AB=

4BF

3

=

4×3

3

=4．
∴⊙O的半径长为2．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及切线的判定与性质和锐角三角函数应用，根据已知得出∠HGF=∠BGE=∠A是解题关键．