Question

如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC、CD的中点，AE交BF于点H，CG∥AE交BF于点G，给出下列结论：①△BHE为直角三角形；②CG•BF=BC•CF；③BH=FG；④

BC2

CF2

=

BG

CF

，其中正确的序号是

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：易证△ABE≌△BCF和△BHE≌△CGF，可得∠BAE=∠CBF和FG=HE，分别对①②③④进行验证，即可解题．

解答：解：①∵在△ABE和△BCF中，

AB=BC ∠ABE=∠BCF BE=CF

，
∴△ABE≌△BCF，（SAS）
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠ABH+∠CBF=90°，
∴∠ABH+∠BAE=90°，
∴△BHE为直角三角形；①正确；
②∵AH⊥BF，CG∥AE，
∴CG⊥BF，
∵S_△BCF=

1

2

CG•BF=

1

2

BC•CF，
∴CG•BF=BC•CF，②正确；
③∵∠CBF+∠CFG=90°，∠CFG+∠FCG=90°，
∴∠FCG=∠CBF，
∵在△BHE和△CGF中，

∠BHE=∠CGF=90° ∠FCG=∠CBF BE=CF

，
∴△BHE≌△CGF，
∴FG=HE，
∵tan∠CBF=

CF

BC

=

1

2

=

HE

BH

，
∴BH=2FG，③错误；
④∵BG＜BC，CF=

1

2

BC，
∴BC²≠BG•CF，
∴

BC2

CF2

≠

BG

CF

，④错误；
故答案为 ①②．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABE≌△BCF和△BHE≌△CGF是解题的关键．