Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC为长方形，A(10，0)，C(0，4)，D是OA的中点，点P在线段BC上运动．

（1）B的坐标为_________；

（2）当∠POD＝30°时，求CP的长；

（3）当△DPO是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】(1) B(10,4);(2);(3) (3，4)或(2，4)或(8，4).

【解析】

（1）根据矩形的性质得到AB=OC，BC=OA，A点的坐标为（10，0），C点的坐标为（0，4），得到10=4，OC=4，即可得到结论；(2)根据30°所对的直角边等于斜边的一半得出OP=2OC，再利用勾股定理求解即可;(3)因为题中没有指明△ODP的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，从而求得点P的坐标．

解：(1) ∵四边形OABC为长方形，A(10，0), C(0，4),∴OA=CB=10,OC=AB=4,∴B(10,4);

(2) ∵四边形OABC为长方形, ∴∠COD=90°, ∵∠POD＝30°, ∴∠COP=60°, ∴∠OPC=30°, ∴OP=2OC,在RT△OCP中，OP-CP=OC=16即(2OC) -CP=16, ∴CP=;

(3) ∵A（10，0），C（0，4），
∴OC=4，OA=10，
∵点D是OA的中点，
∴OD=5，

(1)OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP=PD≠5；

(2)OD是等腰三角形的一条腰时：若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，

在直角△OPC中，CP==3，，则P的坐标是(3，4)．

若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，过D作DM⊥BC于点M，

在直角△PDM中，PM= =3，

当P在M的左边时，CP=5-3=2，则P的坐标是(2，4)；

当P在M的右侧时，CP=5+3=8，则P的坐标是(8，4)．

故P的坐标为：(3，4)或(2，4)或(8，4)．

故答案为：(3，4)或(2，4)或(8，4)．