Question

【题目】如图①，一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=x2的图象相交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为m，n（m＜0，n＞0）．

（1）当m=﹣1，n=4时，k=　，b=　；
当m=﹣2，n=3时，k=　，b=　；
（2）根据（1）中的结果，用含m，n的代数式分别表示k与b，并证明你的结论；
（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：
如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED．
①当m=﹣3，n＞3时，求 的值（用含n的代数式表示）；
②当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为_____　；
当四边形AOED为正方形时，m= ， n= ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当x=﹣1时，y=x2=1，则A（﹣1，1）；当x=4时，y=x2=16，则B（4，16），

把A（﹣1，1）、B（4，16）分别代入y=kx+b得，解得；

当x=﹣2时，y=x2=4，则A（﹣2，4）；当x=3时，y=x2=9，则B（3，9），

把A（﹣2，4）、B（3，9）分别代入y=kx+b得，解得；

故答案为：3，4；1，6；

（2）

解：k=m+n，b=﹣mn．理由如下：

把A（m，m2），B（n，n2）代入y=kx+b得，解得；

（3）

解：①当m=﹣3时，A（﹣3，9），

∵点A关于y轴的对称点为点E，

∴E（3，9），

∵k=m+n，b=﹣mn，

∴k=﹣3+n，b=3n，

∴直线AB的解析式为y=（﹣3+n）x+3n，则D（0，3n），

当y=0时，（﹣3+n）x+3n=0，解得x=，则C（，0），

∴ ==（n＞3）；

②连结AE交OD于P，如图②，

∵点A（m，m2）关于y轴的对称点为点E，

∴E（﹣m，m2），

∴OP=m2，

∵k=m+n，b=﹣mn，

∴D（0，﹣mn），

若四边形AOED为菱形，则OP=DP，即﹣mn=2m2，所以n=﹣2m；

若四边形AOED为正方形，则OP=AP，即﹣m=m2，解得m=﹣1，所以n=﹣2m=2．

【解析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特征，由当m=﹣1，n=4得A（﹣1，1），B（4，16），然后利用待定系数法求出直线AB的解析式即可得到k和b的值；当m=﹣2，n=3时，用同样的方法求解；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征得到A（m，m2），B（n，n2），把它们分别代入y=kx+b得，然后解关于k、b的方程组即可得到k=m+n，b=﹣mn；
（3）①当m=﹣3时，A（﹣3，9），根据y轴对称的点的坐标特征得E（3，9），再由（2）的结论得k=m+n，b=﹣mn，则直线AB的解析式为y=（﹣3+n）x+3n，接着求出D（0，3n），C（，0），然后根据三角形面积公式可计算出 的值；
②连结AE交OD于P，如图②，点A（m，m2）关于y轴的对称点E的坐标为（﹣m，m2），则OP=m2 ， 由于k=m+n，b=﹣mn，则D（0，﹣mn）；若四边形AOED为菱形，根据菱形的性质OP=DP，即﹣mn=2m2 ， 可解得n=﹣2m；若四边形AOED为正方形，根据正方形的性质得OP=AP=OP=PD，易得m=﹣1，n=2．