Question

如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点M，且M是CD的中点，点P在DC的延长线上，PE是⊙O的切线，E是切点，AE与CD相交于点F，PE与PF的大小有什么关系？为什么？

Answer 1

考点：切线的性质

专题：常规题型

分析：连接OE，根据切线的性质，由PE是⊙O的切线得到OE⊥PE，则∠1+∠2=90°；由于M是CD的中点，根据垂径定理的推理得到OA⊥CD，所以∠A+∠3=90°，
加上∠1=∠A，利用等角的余角相等得到∠2=∠3，而∠3=∠4，所以∠2=∠4，于是根据等腰三角形的判定即可得到PE=PF．

解答：解：PE=PF．理由如下：
连接OE，如图，
∵PE是⊙O的切线，
∴OE⊥PE，
∴∠1+∠2=90°，
∵M是CD的中点，
∴OA⊥CD，
∴∠A+∠3=90°，
而OA=OE，
∴∠1=∠A，
∴∠2=∠3，
而∠3=∠4，
∴∠2=∠4，
∴PE=PF．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理的推理．