已知:在平面直角坐标系中.等腰Rt△ABC的顶点A.C在坐标轴上运动.且∠ACB=90°.AC=BC．.C(1.0).点B在第四象限时.则点B的坐标为 ,(2)如图2.当点C在x轴正半轴上运动.点A在y轴正半轴上运动.点B在第四象限时.作BD⊥y轴于点D.试判断OC+BDOA与OC-BDOA哪一个是定值.并说明定值是多少?请证明你的结论．(3)如图3.当点C在y轴正半轴上运动.点A� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知：在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的顶点A、C在坐标轴上运动，且∠ACB=90°，AC=BC．
（1）如图1，当A（0，-2），C（1，0），点B在第四象限时，则点B的坐标为

；
（2）如图2，当点C在x轴正半轴上运动，点A在y轴正半轴上运动，点B在第四象限时，作BD⊥y轴于点D，试判断

OC+BD

与

OC-BD

哪一个是定值，并说明定值是多少？请证明你的结论．
（3）如图3，当点C在y轴正半轴上运动，点A在x轴正半轴上运动，使点D恰为BC的中点，连接DE，求证：∠ADC=∠BDE．

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）作BD⊥CD，易证△OAC≌△DCB，即可解题；
（2）作BE⊥OC，易证OAC≌△ECB，可求得OC=AO+BD，即可解题；
（3）过点B作BG⊥BC交y轴于点G，易证△BCG≌△CAD，可得BG=BD，进而可以求证△DBE≌△GBE，可得∠BDE=∠BGE，即可解题．

解答：解：（1）作BD⊥CD，

∵∠OCA+∠DCB=90°，∠OAC+∠DCB=90°，
∴∠OAC=∠DCB，
∵在△OAC和△DCB中，

∠AOC=∠CDB

∠OAC=∠DCB

AC=BC

，
∴△OAC≌△DCB，（AAS）
∴CD=OA=2，BD=OC=1，OD=3，
∴B点坐标为（3，-1）；
（2）作BE⊥OC，则四边形ODBE为矩形，

∵∠ACO+∠BCO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCO=∠CAO，
∵△OAC和△ECB中，

∠AOC=∠CEB

∠OAC=∠ECB

AC=BC

，
∴△OAC≌△ECB，（AAS）
∴EC=OA，
∵四边形ODBE为矩形，
∴OE=BD，
∵OC=OE+EC，
∴OC=AO+BD，
∴

OC-BD

存在定值，且为1；
（3）过点B作BG⊥BC交y轴于点G，

∴∠CBG=∠ACD=90°，
∵∠BCG+∠ACG=90°，∠ACO+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠CAO．
在△BCG和△CAD中，

∠DCO=∠CAO

BC=AC

∠CBG=∠ACD=90°

，
∴△BCG≌△CAD（ASA），
∴BG=CD=BD．
∵∠ABC=∠BAC=45°，
∴∠EBG=∠DBE=45°，
在△DBE和△GBE中，

BD=BG

∠DBE=∠GBE

BE=BE

，
∴△DBE≌△GBE（SAS），
∴∠BDE=∠BGE，
∵∠BCG+∠BGE=90°，∠BCG+∠ADC=90°，
∴∠BGE=∠ADC，
∴∠ADB=∠CDE．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中每一问都找出全等三角形并求证是解题的关键．

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